Approximationen

26.09.2009, 21:14

Pieti

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Approximationen

Man betrachte folgende Approximation einer Lösung der Gleichung durch x^2 = 2 durch rationale Zahlen. Wir definieren Zahlen a_n, b_n für n Element der natürlichen Zahlen (mit 0) wie folgt:

a_0: = 1 ; b_0 : = 2

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{a_n + b_n}{2} , b_{n+1} : = b_n \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \frac{(a_n + b_n)^2}{4} < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = a_n , b_{n+1} : = \frac{a_n + b_n}{2} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \frac{(a_n + b_n)^2}{4} > 2 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich folgendes zeigen:

(i) a_n, b_n Element von Q (rationale Zahlen)
(ii) a_n < b_n
(iii) $\begin{eqnarray*} (a_n)^2 < 2 \end{eqnarray*}$
(iv) $\begin{eqnarray*} (b_n)^2 > 2 \end{eqnarray*}$
(v) $\begin{eqnarray*} b_n - a_n \leq 2^{-n} \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, das beste Beweismittel ist hier die Induktion..eigentlich einfach - eigentlich..
Kann mir aber jemand einen Tipp geben, wie ich (i) bis (v) lösen kann?

26.09.2009, 21:23

tigerbine

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"salopp gesagt"
1. Die Startwerte sind aus Q (Körper). Nun tritt bei der Definition der Folgenglieder doch nur +, /. Du verlässt Q also nicht.

2. Ist für die Startwerte erfüllt. Mach eine IB. Die Folgeglieder sind definiert und durch eine Zusatzbedingung verbunden(Fallunterscheidung). Das musst du dann zur Überpürfung nutzen im IS.

27.09.2009, 01:28

Pieti

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RE: "salopp gesagt"
Oookey..hehe

Kann man Nummer (i) nicht mathematisch aufschreiben bzw. beweisen?
..weil ich diese Aussage auch im Kopf hatte, jedoch nicht wusse, wie aufschreiben..

zu Nummer (ii)
..wäre es möglich, mir dort vielleicht den eersten Fall als Beispiel zu zeigen?
..da wäre ich wirklich sehr dankbar!

zu Nummer (iii) und (iv) : die sind erledigt smile

smile

und zu Nummer (v):
Wie kann ich diese Behauptung beweisen? ..ich stocke, weil ja für den ersten Fall b_n immer 2 ist, und für den zweiten Fall a_n immer 1 ; aber wie kann ich denn zeigen, dass zB.
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{a_n - 2}{2} = 3 - \frac{a_n}{2} \leq 2^{-n} \end{eqnarray*}$ ist?

Vielen herzlichen Dank für die Hilfe!

27.09.2009, 12:52

tigerbine

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RE: "salopp gesagt"
(i) kanst du auch mit Induktion machen. Die Gültigkeit der Aussagen folgt eben immer aus den Körperaxiomen.

(ii) $\begin{eqnarray*} a_0 < b_0 \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$ . Was können wir dann folgern?

Fall 1:
$\begin{eqnarray*} b_{n+1} : = b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{a_n + b_n}{2} \stackrel{\text{IB}} < \frac{b_n + b_n}{2} \stackrel{\text{Def.}} = \frac{b_{n+1} + b_{n+1}}{2} = b_{n+1} \end{eqnarray*}$

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n+1} : = \frac{a_n + b_n}{2} \stackrel{\text{IB}} > \frac{a_n + a_n}{2} \stackrel{\text{Def.}} = \frac{a_{n+1} + a_{n+1}}{2} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Hat man die Fallbedingung gar nicht gebraucht.

27.09.2009, 13:01

Pieti

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RE: "salopp gesagt"
Ah wow..bei b) habe ich viel zu weit studiert und gerechnet - sehr elegant so :-)

Hättest du mir zu (v) auch noch einen Tipp / möglichen Anfang?

27.09.2009, 13:18

tigerbine

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RE: "salopp gesagt"
$\begin{eqnarray*} b_n - a_n \leq \frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

IA:
$\begin{eqnarray*} 2-1 = 1 \leq \frac{1}{2^0} \end{eqnarray*}$

IB:
$\begin{eqnarray*} b_n - a_n \leq \frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

IS:

Fall 1
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}-a_{n+1} = b_n - \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{b_n - a_n}{2} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

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27.09.2009, 14:00

D@Npower

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RE: "salopp gesagt"
Dankeschöön! smile

smile

27.09.2009, 14:03

tigerbine

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RE: "salopp gesagt"
Bitte, warum hast du als Gast gefragt?

27.09.2009, 15:29

D@Npower

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RE: "salopp gesagt"
Ich habe ebenfalls an der letzten Aufgabe rumstudiert wie Pieti, deshalb das Dankeschön für die letzte Aufgabe! smile

smile

27.09.2009, 21:53

lucretia

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Wäre froh wenn jemand noch 1) und 3) genau so ausführlich erklären könnte wie Tigerbiene!!
verwirrt

verwirrt

27.09.2009, 21:55

tigerbine

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Lehrer

tigerbine hat hier ausnahmsweise mal vorgerechnet. Zeig mal deine Ideen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.09.2009, 22:24

Pieti

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Sorry für die Zwischenfrage:

Der Fall $\begin{eqnarray*} \frac{(a_n + b_n)^2}{4} = 2 \end{eqnarray*}$ wird ja nie auftreten - aber weswegen?

Vielen Dank auch von mir für die Hilfe!

27.09.2009, 22:34

tigerbine

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Hast du dir die Folgen a und b mal angeschaut? Was vermutest du? Konvergieren sie (monton?, beschränkt verwirrt

verwirrt

iii, iv)) ? Wenn ja, wogegen (v)?

27.09.2009, 22:47

Pieti

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Ja, sie konvergiert, gegen 0.

27.09.2009, 22:50

tigerbine

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Die Aussage ist in doppelter Hinsicht falsch. ich habe nach 2 Folgen gefragt und deren Grenzwerten.

27.09.2009, 23:10

Pieti

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Das verwirrt mich ein wenig, weil ich sagen würde, dass beide Folgen divergieren.

(0 ist klar falsch - ich habe da eine falsche Annahme gemacht..)

27.09.2009, 23:40

tigerbine

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RE: Approximationen

Zitat:

Original von Pieti
Man betrachte folgende Approximation einer Lösung der Gleichung durch x^2 = 2 durch rationale Zahlen. Wir definieren Zahlen a_n, b_n für n Element der natürlichen Zahlen (mit 0) wie folgt:

a_0: = 1 ; b_0 : = 2

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = \frac{a_n + b_n}{2} , b_{n+1} : = b_n \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \frac{(a_n + b_n)^2}{4} < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} : = a_n , b_{n+1} : = \frac{a_n + b_n}{2} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \frac{(a_n + b_n)^2}{4} > 2 \end{eqnarray*}$

Nun hast du schon gezeigt:

(i) a_n, b_n Element von Q (rationale Zahlen)
(ii) a_n < b_n
(iii) $\begin{eqnarray*} (a_n)^2 < 2 \end{eqnarray*}$
(iv) $\begin{eqnarray*} (b_n)^2 > 2 \end{eqnarray*}$
(v) $\begin{eqnarray*} b_n - a_n \leq 2^{-n} \end{eqnarray*}$

Was bedeuten diese ganzen Informationen?

Folge a. Startet bei a=1. Bleibt entweder konstant oder geht auf (a+b)/2. Je nach Fall.

Folge b. Startet bei b=2. Bleibt entweder konstant oder geht auf (a+b)/2. Je nach Fall.

(i) Folge a bleibt immer unter Folge b

(v) Die beiden Folgen nähern sich beliebig nahe an.

=> sollte Konvergenz vorliegen, dann b "von oben", a "von unten".

(iii) die Folge a ist von oben beschränkt. Die Werte von a sind ja immer positiv, wir ziehen also mal die +Wurzel.

(iv) di Folge b ist von unten beschränkt. Die Werte von b sind ja immer positiv, wir ziehen also mal die +Wurzel.

=> Was kommt raus? Das ist nat. keine rat. Zahl, aber egal. Aber mit diesem Wissen kannst du deine Frage beantworten.

28.09.2009, 00:28

Pieti

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RE: Approximationen
Ahh..hehe smile

smile

Dankeschöön!
..auch für den kleinen Schlusstipp in deinem letzten Satz ;-)

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