Grenzwertsätze beweisen

26.09.2009, 21:39	Christof	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertsätze beweisen Hallo Zusammen, Wir haben, in der Schule, folgenden Grenzwertsatz bewiesen: $\begin{eqnarray} lim(a_{n}+b_{n})=lim(a_{n})+lim(b_{n}) \end{eqnarray}$ Im grunde verstehe ich den Beweis, bis auf eine Aussage: $\begin{eqnarray} \|a_{n}-a\|+\|b_{n}-b\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \end{eqnarray}$ wie kommt man auf das $\begin{eqnarray} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ ? Gruß Christof
26.09.2009, 22:42	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Dieser Satz geht von 2 Folgen aus mit den Eigenschaften: $\begin{eqnarray} <br /> a_n \in \mathbb R mit \lim_{n \to \infty } a_n , n \in \mathbb N<br /> \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} <br /> b_n \in \mathbb R mit \lim_{n \to \infty } b_n = b, n \in \mathbb N<br /> \end{eqnarray}$ Das heisst, dass die Zahlenfolge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ gegen eine Zahl a oder b konvergiert. Nach der Definition für Konvergenz bedeutet dieses: $\begin{eqnarray} <br /> \forall \epsilon>0 \exists N_1 \in \mathbb N:<br /> \forall n\geq N:<br /> \|a_n - a\| < \epsilon<br /> \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} <br /> \forall \epsilon>0 \exists N_2 \in \mathbb N:<br /> \forall n\geq N:<br /> \|b_n - b\| < \epsilon<br /> \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ bedeutet, dass diese Aussage für alle $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ gilt. Also auch für: $\begin{eqnarray} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ bedeutet "es existiert". Wegen der Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \forall a,b \in \mathbb R:<br /> \|a + b\| \leq \|a\| + \|b\|<br /> \end{eqnarray}$ Kommst du auf dein Ergebniss welches zeigt, dass: $\begin{eqnarray} <br /> \|(a_n + b_n) - (a + b)\| = \|(a_n - a) + (b_n - b)\| \leq \|a_n - a\| + \|b_n - b\| < \epsilon<br /> \forall n \geq max\left\{ N_1, N_2\right\} <br /> \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »