Vertauschen von Summe und Integral

26.09.2009, 23:38	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertauschen von Summe und Integral Ich habe folgendes Problem mit einem Innenprodukt auf dem Raum $\begin{eqnarray} L^2(0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\langle \sum\limits_{i = 1 }^\infty a_i \; f_i\; , \;g\; \right\rangle = \int\limits_0^1 \left(\sum\limits_{i = 1 }^\infty a_i \; f_i \;\overline g \; dx \right) \; , \qquad f_i,\; g \in L^2(0,1) \; , \quad a_i \in \mathbb C \end{eqnarray}$ Nun möchte ich die gerne Integral und Summe vertauschen und frage mich unter welcher Bedingung man entsprechend $\begin{eqnarray} \left\langle \sum\limits_{i = 1 }^\infty a_i \; f_i\; , \;g\; \right\rangle = \sum\limits_{i = 1 }^\infty a_i \left\langle \; f_i\; , \;g\; \right\rangle \end{eqnarray}$ schreiben kann. Ich bin bei meiner Suche auf den Satz der monotonen Konvergenz gestossen, muss aber ehrlich zugeben, dass ich mit den ganzen Begrifflichkeiten noch nicht so 100 % klar komme und bin deswegen für sachdienliche Hinweise sehr dankbar.
27.09.2009, 10:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz von Lebesque (Montone Konvergenz) ist definitiv eine Möglichkeit. Du könntest aber auch die gleichmäßige Konvergenz der Reihe gegen f zeigen. Allgemein gilt dieses natürlich nicht, dafür müssten wir erstmal die Eigenschaften der Reihe kennen.
27.09.2009, 16:01	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was das Konvergenzverhalten angeht so ist bei der gegebenen Problemstellung sichergestellt, dass $\begin{eqnarray} f = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \; f_i \; , \quad \mathrm{mit} \quad f \in L^2(0,1) \end{eqnarray}$ gilt. Ich bin mir nur einfach nicht sicher welcher Satz damit greift.
27.09.2009, 18:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz bezüglich der 2-Norm reicht nicht für Vertauschbarkeit aus. Wie ist denn Deine Reihe definiert?
27.09.2009, 18:49	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte das gestern abend vielleicht ein wenig unglücklich formuliert. Ich hole nochmal ein wenig weiter aus. Die Reihe repräsentiert Elemente des Raums $\begin{eqnarray} L^2(0,1) \end{eqnarray}$ unter verwendung einer orthonormalbasis dieses Raums $\begin{eqnarray} \left\{v_i , \; i \geq 1\right\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f = \sum\limits_{i=1}^\infty \left\langle f\;,\; v_i\right\rangle \; v_i \; , \quad f\in L^2(0,1) \end{eqnarray}$ Ich betrachte nun das Innenprodukt $\begin{eqnarray} \left\langle f\; ,\; g \right\rangle = \left\langle \sum\limits_{i=1}^\infty \left\langle f\;,\; v_i\right\rangle \; v_i \; ,\; g \right\rangle \; , \quad g \in L^2(0,1) \end{eqnarray}$ und frage mich ob ich für diesen Fall $\begin{eqnarray} \left\langle \sum\limits_{i=1}^\infty \left\langle f\;,\; v_i\right\rangle \; v_i \; ,\; g \right\rangle = \sum\limits_{i=1}^\infty \left\langle \left\langle f\;,\; v_i\right\rangle \; v_i \; ,\; g \right\rangle \end{eqnarray}$ schreiben kann.
28.09.2009, 19:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Innenprodukt ist stetig, d.h wenn $\begin{eqnarray} f_n \to f \end{eqnarray}$ bezüglich der vom Innenprodukt induzierten Norm (also L²-Norm) dann gilt $\begin{eqnarray} \langle f_n,g\rangle \to \langle f,g \rangle \end{eqnarray}$ oder anders $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \langle f_n,g \rangle = \langle f,g\rangle \end{eqnarray}$ (Konvergenz in C) Das lässt sich natürlich wie folgt schreiben, sei $\begin{eqnarray} f_n = \sum_{i = 1}^n \langle f,v_i \rangle v_i \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \langle f,g \rangle = \lim_{n \to \infty}\langle f_n,g\rangle = \lim_{n \to \infty}\left\langle\sum_{i=1}^n\langle f,v_i\rangle v_i, g\right\rangle = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n\left\langle\langle f,v_i\rangle v_i, g\right\rangle \end{eqnarray}$
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28.09.2009, 23:51	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Hatte noch ein wenig gesucht und auch entsprechende Literatur gefunden in der dieser Zusammenhang nochmal explizit genannt wird.

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