Körper

27.09.2009, 13:11	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper Guten Tag zusammen! Ich hätte eine klitzekleine Frage (geht nur ums Verständnis und darum, dass ich die Aufgabe lösen kann (keine Lösungen)): Und zwar muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q[i]: = \left\{ a + bi\|a, b \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray}$ zusammen mit der Addition und Multiplikation in C ein Körper ist. Heisst das, ich kann (a + bi) mit einer beliebigen Variabel (Element C (das wäre i, oder?) addieren bzw multiplizieren, um dann so die Körperaxiome nachweisen zu können? Oder wie würde / könnte man das elegant und gut beweisen?
27.09.2009, 13:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
i ist keine Variable, sondern die imaginäre Einheit. Die Körperaxiome können mit beliebigen Vertretern (Elementen) aus dieser Menge nachgewiesen werden: $\begin{eqnarray} z_k = a_k + i \cdot b_k \end{eqnarray}$ Zum Beispiel wird mit $\begin{eqnarray} z_1 \cdot n = z_1 \ \leftrightarrow \ (a_1 + i \cdot b_1) \cdot (a_2 + i \cdot b_2) = (a_1 + i \cdot b_1) \cdot n \end{eqnarray}$ auf das neutrale Element der Multiplikation geprüft. Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} n_ = (1; 0) = 1 + 0 \cdot i \end{eqnarray*}$ mY+
27.09.2009, 13:45	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah eben - dann muss ich alle Körperaxiome (also für Multiplikation wären dies neutrales Element (1) [Existenz der 1], Inverses, Assoziativität und Kommutivität und für die Addiotion dieselben, einfach mit netralem Element 0 [bzw Existenz der 0]) nachweisen, und die Aufgabe wäre gelöst?!
27.09.2009, 15:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Diese Nachweise sind jedoch nicht schwierig. mY+

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