Differentialrechnung Extrema

27.09.2009, 14:07

khaze

Differentialrechnung Extrema

Ein Rechteck mit dem Umfang 20cm soll so gestaltet werden, dass die Diagonale möglichst klein wird.
HB: d^2=a^2+b^2
Nb: U=2a+2b

Soweit richtig? Ich weiss nicht wie ich die Nb. in die Hb einsetze damit die Zf. ohne *wurzel der variablen steht bzw irgendetwas stimmt hier nicht

Nb: 2a+2b=20
a=10-b in Hb (10-b)^2+b^2 = 100-20b+2b^2
=> f´(b)= 4b-20*wurzel
irgendetwas stimmt meiner meinung hier nicht bitte um Hilfe!!!!

Danach habe ich mich um eine weitere Aufgabe gekümmert:
Ein Kegel mit der seitenkante 24cm soll ein möglichsts großes Volumen haben.
HB: 1/3h*r^2*pie
NB: a^2=h^2+r^2
r^2=24^2-h^2

27.09.2009, 14:23

tigerbine

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RE: Differentialrechnung Extrema
Das ist tierisch anstrengend zu lesen....

[quote]Ein Rechteck mit dem Umfang 20cm soll so gestaltet werden, dass die Diagonale möglichst klein wird.
HB: $\begin{eqnarray*} d^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$
Nb: $\begin{eqnarray*} U=2a+2b \end{eqnarray*}$

Wegen der Positivität von a,b könnte man auch sagen.

$\begin{eqnarray*} d(a,b)=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung liefert den Zusammenhang.

$\begin{eqnarray*} 20=2(a+b) \Rightarrow b=10-a \end{eqnarray*}$

Damit erhalten wir die Funktion:

$\begin{eqnarray*} d(a,b)=\sqrt{a^2+(10-a)^2} \end{eqnarray*}$

Die Funktion dq hat das den gleichen Minimalwert für a, falls du damit einfacher Rechnen kannst.

$\begin{eqnarray*} dq(a,b)=a^2+(10-a)^2 \end{eqnarray*}$

[a=5]

27.09.2009, 20:12

khaze

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gut hab ich auch raus ;-)
f(a)=2a^2+100-20a
f´(a)=4a+20 => a=5
f´´(a)=4

a=5 in nb??
U=10+b
10+10=U <- 20
Aber hier ist die maximale fläche berechnet oder ist auch hier die diagonale am längsten eher nein?!

28.09.2009, 08:48

sulo

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Zitat:

Original von khaze

a=5 in nb??
U=10+b
10+10=U <- 20
Aber hier ist die maximale fläche berechnet oder ist auch hier die diagonale am längsten eher nein?!

Mit diesem Schritt hast du nur b berechnet, allerdings nicht ganz richtig, wie mir scheint.... verwirrt

Es galt:

Zitat:

Nb: 2a+2b=20

Nun setzt du für a deine Lösung, nämlich 5, ein: 2*5 + 2b = 20
Und aus 10 + 2b = 20 folgt natürlich: b = 5

Die Seitenlängen des Rechtsecks mit der längsten Diagonale hast du mit Hilfe der Ableitung von $\begin{eqnarray*} d(a)=\sqrt{a^2+(10-a)^2} \end{eqnarray*}$ bzw., wie tigerbine erklärt hat, mit Hilfe der Ableitung von $\begin{eqnarray*} d(a)=a^2+(10-a)^2 \end{eqnarray*}$ ermittelt. smile

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