Basler Problem

27.09.2009, 12:14	DavidG	Auf diesen Beitrag antworten »
Basler Problem Hallo Habe eine Aufgabe, bei der ich nicht einmal weiss, wie anfangen: Zeigen sie, dass die Reihe des Basler Problems konvergiert: Summe 1/n^2 für n=1 bis unendlich.(Weiss nicht, wie ich ein Summenzeichen mache) Hinweis: beachten sie, dass die Folge der Partialsummen monoton ist, und schliessen sie aus 1/n^2 grösser gleich 1/n(n-1) = 1/n-1 - 1/n, dass die reihe beschränkt ist. Bin für jede Hilfe dankbar. Vielleicht weiss ja jemand einen Link mit einer Seite, die mir das erklären kann. Ist wirklich wichtig für mich.
27.09.2009, 12:44	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze den Tipp, schätze $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n²} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n}-\sum \frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ ab und probiere ein wenig mit den Indizes herum.
27.09.2009, 12:55	davidG	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Versuch, bringt mich aber kein Bisschen weiter. Höre im Studium zum ersten Mal von Monotonie und Stetigkeit, vorher nie gehabt und erklärt wird einem das nicht wirklich... Ich begreife schon nicht mehr, was diese Ungleichung beim Hinweis soll?! Das wird wohl eine 0-Punkte Übung geben...
27.09.2009, 13:05	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, dann ein bißchen ausführlicher: Die Ungleichung hat den Zweck, eine Reihe, deren Konvergenzverhalten unbekannt ist, mithilfe von anderen Reihen (deren Verhalten bekannt ist) abzuschätzen. Nehmen wir an, Reihe $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ (als Folge interpretiert, der Faulheit halber ) sei stets betraglich $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ der Reihe $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ . Fernerhin wissen wir, dass $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ konvergiert. Durch die Abschätzung der Beträge wissen wir, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ betraglich immer kleiner dem Betrag von $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ ist, also konvergiert $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ aufgrund der Konvergenz von $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ . Dies nennt man das Majorantenkriterium. Und das wenden wir jetzt auf deine Aufgabe an. Ob die Reihe $\begin{eqnarray} \sum _{k=1}^\infty\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ konvergiert, oder nicht, können wir im Moment nicht sehen. Jetzt schätzen wir sie aber nach oben mit einer (bzw. hier zwei) Reihe(n) ab. Du musst dann nur noch zeigen, dass die beiden Reihen rechts zusammengenommen konvergieren.
27.09.2009, 13:35	DavidG	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir. Könnte ich jetzt vielleicht sogar verstehen. Bin aber gerade eine andere Aufgabe am versuchen zu lösen, werde mir nachher über das problem hier gedanken machen. Super, danke nochmals.

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