gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen

27.09.2009, 14:32

JokingPetzger

gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen

Hallihallo,

folgende Funktionenfolge sei gegeben:

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = (1-x)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$

So, wenn ich nun die Grenzfunktion angeben muss, muss ich da ja ne Fallunterscheidung machen, da ja für x = 0, die Grenzfunktion 1 einnimmt, für alle anderen x aus dem Intervall ist die Grenzfunktion 0. (Ich will diese hier nicht explizit angeben, da ich nich weiß wie man große geschweifte Klammern in LaTeX macht)

Nunja, wenn ich das ding auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen will, dann muss man ja den ansatz machen:

$\begin{eqnarray*} \lim sup_{n \rightarrow \infty} |(f_n(x) - f(x))| = 0 \end{eqnarray*}$

Soderle, jetzt kann ich ja nicht einfach die Funktion f(x) einsetzen, da sie ja für unterschiedliche x unterschiedliche f(x) hat. Muss ich also auch hier eine Fallunterscheidung machen?

Es wäre nett wenn mir hier jemand helfen könnte, da dass das letzte Thema ist, dass ich noch nicht ganz komplett verstanden habe.

Vielen Dank!

27.09.2009, 15:24

Romaxx

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Betrachte die Angelegenheit mal für $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f|_{(0,1]} \end{eqnarray*}$ . Schon hier wirst du Probleme bekommen.

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}|f_n(x)-f(x)|=\limsup_{n\to\infty}|(1-x)^n-0|=\limsup_{n\to\infty}|(1-x)^n|=... \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 15:58

tmo

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Übrigens: Bevor man n nach unendlich schickt, betrachtet man erstmal nur das Supremum für ein festes n.

Das sollte man sich klarmachen. So macht man es sich viel leichter.

27.09.2009, 18:01

JokingPetzger

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Ja, für $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}|(1-x)^n| = 0 \end{eqnarray*}$
Damit ist es dann gleichmäßig konvergent auf dem angegebenen Intervall, oder nicht?

Da wir ja ein $\begin{eqnarray*} |q|^n \end{eqnarray*}$ haben für $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ . Und das strebt für n gegen unendlich gegen 0. So steht es bei uns in der Vorlesung.

Das Problem ist nur, soll ich jetzt einen seperaten Fall behandel wo x = 0 ist. ?

27.09.2009, 18:57

tmo

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Zitat:

Original von JokingPetzger
Ja, für $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}|(1-x)^n| = 0 \end{eqnarray*}$
Damit ist es dann gleichmäßig konvergent auf dem angegebenen Intervall, oder nicht?

Das stimmt nicht.

Hast du meinen Post überhaupt durchgelesen?

27.09.2009, 23:09

JokingPetzger

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Ah, ich glaub ich seh was du meinst:

für n = 2
$\begin{eqnarray*} (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Aber hier gehts es doch um die n. Was geschiet mit den Funktionen, falls sich das n gegen unendlich nähert oder hab ich hier grundsätzlich was falsch verstanden.

27.09.2009, 23:34

Romaxx

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Ja, hast du.

Mach doch mal das, was dir tmo noch zusätzlich geraten hat.

Was ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^2=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^3=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^4=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^n=... \end{eqnarray*}$

Und was bedeutet das, wenn du nun $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich schickst?

28.09.2009, 01:04

JokingPetzger

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$\begin{eqnarray*} (1-x)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk (-x)^k = -1 + nx - \binom n2 x^2 + \cdots \end{eqnarray*}$

und das ding besitzt keinen Grenzwert. So jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. ( $\begin{eqnarray*} -1^0 = -1 \end{eqnarray*}$ ) oder?

So, vielen Dank euch allen!

28.09.2009, 09:03

klarsoweit

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Ohne die Keule der binomischen Formel auszupacken, könntest du doch erstmal das tun:

Zitat:

Original von Romaxx
Was ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)=... \end{eqnarray*}$

28.09.2009, 15:00

JokingPetzger

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Das Supremum liegt bei x = 0, das ist sup(1-x) = 1 ist zwar dort nicht definiert muss es aber auch nicht, da das Supremum nicht in der Menge liegen muss. Soweit so gut?

28.09.2009, 15:14

klarsoweit

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Merkwürdige Formulierung, obwohl du das richtige meinst.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Man kann nicht sagen, "Das Supremum liegt bei x = 0", denn x=0 liegt ja nicht in dem betrachtetem Intervall. Es muß ja auch keine x-Stelle geben, an der das Supremum angenommen wird.

Wie sieht es nun mit $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^n=... \end{eqnarray*}$ aus?

28.09.2009, 22:17

JokingPetzger

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$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^n=1 \end{eqnarray*}$ oder lieg ich da jetzt ganz verkehrt,

da ja $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^n = \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^{n-1} \cdot \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^1 = \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^{n-1} \cdot 1 = \prod ^ n 1 = 1 \end{eqnarray*}$

oder kann man das nicht einfach so Potenzieren?

29.09.2009, 09:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von JokingPetzger
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^n=1 \end{eqnarray*}$ oder lieg ich da jetzt ganz verkehrt,

Nein, du liegst nicht verkehrt.

Zitat:

Original von JokingPetzger
da ja $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^n = \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^{n-1} \cdot \sup_{x\in(0,1]}(1-x)^1 \end{eqnarray*}$

Es ist immer wieder erstaunlich, wie "Mathematiker" Regeln erfinden. Hast du eine derartige Regel irgendwo schon mal gesehen? Wenn ja, könnte man auch sagen:

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in [0,1]} (1-x) \cdot x = \sup_{x\in [0,1]}(1-x) \cdot \sup_{x \in [0,1]} x = 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Das Supremum ist in Wirklichkeit aber gleich 1/4. Augenzwinkern

Besser kommt man wohl mit der Grenzwertbildung x --> 0 zurecht.

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