Ober-Untersumme, Induktionformel

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Highshine Auf diesen Beitrag antworten »
Ober-Untersumme, Induktionformel
hey (:

ich habe lange überlegt,wie ich die frage stelle.
ich fange einfach mal an.
wir berechnen die ober & untersumme. ich fange mit der untersumme an.
( anzahl der teilintervalle:n, breite: b/n; zu der funktion f(x)=x^2 im Intervall [0;b] )

also ich verstehe das alles,nur an einer stelle haben wir eine induktion ( so hieß das glaube ich) angewendet. wir haben die nicht bewiesen oder so,unsere lehrerin mweinte,wir sollen das ersteinmal so hinnehmen.

und zwar stand da:


dann haben wir geschrieben:



dann haben wir das ausgerechnet,usw.. und hatten zum schluss herausd:


das verstehe ich auch.
aber jetzt meine sie,für die obersumme gilt jetzt einfach:



sie hat da ein + hingemacht.
meine frage ist warum?
zuerst habe ich mir gedacht,vielleicht ist das immer so,dass sich das vorzeichen wechselt,aber das stimmt nicht.
woran erkenne ich jetzt,ob das dann ein plus,oder ein minus ist?

LG
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

folgendermaßen:





Jetzt gibt es ja diese Formel für die Addition von m Quadratzahlen von 1 bis m:



Für die Untersumme setze ich für das m (n-1) ein und für die Obersumme n.

Dann steht bei der Untersumme



und bei der Obersumme



Jetzt kürzt Du in beiden Fällen jeweils ein n aus dem Nenner mit dem n im Zähler weg, und teilst die anderen beiden n auf die beiden Faktoren auf:

Untersumme:



Obersumme:




Daher ergibt sich halt in diesem Fall "zufällig", dass die Terme bis auf das + bzw. - gleich sind. Das ist aber keine allgemeingültige Regel, sondern hat sich halt aufgrund der Formel für die Summe der Quadrate so ergeben.
Highshine Auf diesen Beitrag antworten »

hallo(:

danke für deine antwort.
aber ich habe eine ferage.
wenn du für m gleich n-1 einsetzt,wie kommst da auf das folgende ergebnis?
ich komme da auf etwas anderes,was ja nicht sein kann.

LG
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Highshine Auf diesen Beitrag antworten »

den 2. zu den 3. schritt verstehe ich das vordere nicht,qwie dann da auf einmal

(n-1)*n steht, das danach verstehe ich.

LG
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh
 
 
Highshine Auf diesen Beitrag antworten »

ah,super^^

also nochmal allgemein.

sollte ich vorher einfach dann ausprobieren,ob es sich um plus oder minus handelt?

zb bei den kubikzahlen, da lautet die formel ja:


sollte ich auch danne rstmal für n= m nehmen und dann,je nach ober oder untersumme n-1 oder n einsetzen,um zu schauen,wie sich die vorzeichen verhalten?

LG
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir einmal an, wir nummerieren die Stützpunkte, auf denen die Riemannschen Summenflächen liegen, mit 0, 1, 2, ... n. Auf meinem Dateianhang liegen sie praktischerweise auch auf den x-Werten 0, 1, 2....
Da die Funktion streng monoton steigend auf ist, nimmt man bei der Obersumme die Funktionswerte , also von .
Bei der Untersumme nimmt man die Funktionswerte , also von . Bei monoton fallenden Funktionen ist es genau umgekehrt und bei nichtmonotonen Funktionen liegen die Funktionswerte auch gern mal zwischen den Stützpunkten (wenn du nicht verstehst, was ich meine, sags, dann mach ich dazu ne Skizze).
Highshine Auf diesen Beitrag antworten »

iczh verstehe,was du meinst.
aber weigentlich war das nicht die antwort auf meine frage (:

LG
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiß, ich wollte dir nur sagen, dass es da keine allgemeingültige Regel gibt, wo man zu zählen beginnt. Du musst eben eine Skizze machen oder geschickt überlegen (oder eben raten und kucken ob das Richtige rauskommt Big Laugh ).
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also du überlegst dir analog zu dem, was Duedi gesagt hat, anhand welcher Funktionswerte du die Unter- bzw. Obersumme bilden kannst. Dann schreibst du jeweils beides hin und rechnest die beiden - eins nach dem anderen - aus.

Es gibt da keine allgemeingültige Regel wie "wenn bei der Obersumme + steht, dann kommt bei der Untersumme - hin" oder umgekehrt. Deshalb würde ich mich da gar nicht zu sehr auf das + oder - versteifen. Im Prinzip rechnest du halt einfach Ober- und Untersumme getrennt voneinander aus. Dass die beiden Gleichungen oben zu 95% gleich aussahen und sich nur in + bzw. - unterschieden haben, ist halt einfach so rausgekommen, aber das heißt nicht viel. Du musst in den allermeisten Fällen beides von Hand ausrechnen und kannst nicht einfach bloß eins ausrechnen und dann mal eben ein, zwei Zeichen austauschen und hast die Lösung für das andere.
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