Nullstellen... ?

27.09.2009, 17:23

bandchef

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Nullstellen... ?

Hi Leute!

Folgende Aufgabe:

Ich soll in abhängigkeit von a die Nst. dieser Funktion ermitteln:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-ax+\frac{2a+1}{x} \end{eqnarray*}$ Definitionsmenge gleich R aber ohne "0" und a ist aus R aber auch ohne "0"

Die Nst. in abhängigkeit lautet: $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{2a-1}{a}} \end{eqnarray*}$

Nun steht in meiner Lösung, dass falls die Nst. größer "0" ist, die Funktion 2 Nst. besitzt. Das verstehe ich.

Es steht aber auch, dass falss die Nst. kleiner oder gleich "0" ist, besitzt die Funktion keine Nst.

Meine Frage: Wenn die Nst. in Abhängigkeit von "a" gleich "0" ist, dann gibt es eine Nst. und nicht wie beschrieben keine Nst....

Bei einer folgenden Frage zur Aufgabe, soll die Anzahl und Lage der Nst. in Abhängigkeit von "a" bestimmt werden.

Bei der durchgeführten Vorzeichuntersuchung taucht dann auf einmal nicht nur die Nst. $\begin{eqnarray*} 2a-1=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a=0,5 \end{eqnarray*}$ sondern eben auch die "0" auf...

Das ist doch ein Fehler in der Lösung der Aufgabe, oder?

27.09.2009, 17:46

tigerbine

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RE: Nullstellen... ?
$\begin{eqnarray*} f_a(x):=-ax + \frac{2a+1}{x},~D_{f_{a}}=\mathbb R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

Wie sehen die Nullstellen aus? Deine Angabe kann nicht stimmen. Denn dann gäbe es ja keine negativen Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} 0=-ax + \frac{2a+1}{x} \end{eqnarray*}$

x ungleich 0

$\begin{eqnarray*} ax = \frac{2a+1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax^2 = 2a+1 \end{eqnarray*}$

Für den Fall a=0 erhält man

$\begin{eqnarray*} f_0(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion besitzt keine Nullstellen. Sei a ungleich 0.

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{2a+1}{a} \end{eqnarray*}$

Links steht eine Quadratzahl. Folglich muss gelten

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{2a+1}{a} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich die Bedingung an a:

$\begin{eqnarray*} a \in ]-\infty ,-0.5] \cup [0,\infty[ \end{eqnarray*}$

Dann lauten die Nullstellen

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{2a+1}{a}} \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 21:45

bandchef

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die möglichen Nst. von ga lauten: $\begin{eqnarray*} fa(x)=\pm\sqrt{\frac{2a-1}{a}} \end{eqnarray*}$

Das muss stimmen, da ich es selbst herausbekommen hab und auch in der lösung steht.

fa(x) besitzt genau zwei Nst. falls $\begin{eqnarray*} \frac{2a-1}{a}>0 \end{eqnarray*}$ Das ist klar...

fa(x) besitzt keine Nst. falls $\begin{eqnarray*} \frac{2a-1}{a}\leq0 \end{eqnarray*}$

Und da ist mein Problem. Wenn die Nullstelle "gleich 0" ist (die Wurzel aus Null ist ja Null und somit hab ich eine gültige lösung), dann hab ich ja eine einzige Nullstelle nämlich 0...

27.09.2009, 21:50

tigerbine

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Wie lautet die Funktion...Sicher dass da nicht auch ein "-" stand?

27.09.2009, 21:52

bandchef

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Die Grundfunktion lautet: $\begin{eqnarray*} fa(x)=-ax+\frac{2a-1}{x} \end{eqnarray*}$ . Es ist also ein Minus davor...

27.09.2009, 21:56

tigerbine

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Guck mal deinen ersten Beitrag an.

Zitat:

bandchef
$\begin{eqnarray*} f(x)=-ax+\frac{2a+1}{x} \end{eqnarray*}$

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27.09.2009, 21:59

bandchef

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Oh, Sorry... Das tut mir jetzt echt leid... Da ist mir ein Fehler unterlaufen... Aber da wir ja geklärt haben, dassdie eingangsfunktion nicht korrekt war, können wir ja jetzt mein eigentliches Problem klären... *g*

27.09.2009, 22:12

tigerbine

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RE: Nullstellen... ?
Wenn ich da jetzt noch Lust drauf hab. *g*

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} f_a(x):=-ax + \frac{2a-1}{x},~D_{f_{a}}=\mathbb R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-ax + \frac{2a-1}{x} \end{eqnarray*}$

x ungleich 0

$\begin{eqnarray*} ax = \frac{2a-1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax^2 = 2a-1 \end{eqnarray*}$

Für den Fall a=0 erhält man

$\begin{eqnarray*} f_0(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ (per Definition ausgeschlossen)

Diese Funktion besitzt keine Nullstellen. Sei a ungleich 0.

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

Links steht eine Quadratzahl. Folglich muss gelten

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$ (wegen x ungleich 0 muss da < stehen!)

$\begin{eqnarray*} a \in ]-\infty,0[ \cup [0.5,\infty[ \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen lauten dann

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} =\sqrt{\frac{2a-1}{a}} \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 22:17

bandchef

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aber den fall a=0 kann es doch gar nicht geben, da 0 nicht in der menge möglicher zahlen von a drin ist... ich verstehs so nicht

27.09.2009, 22:18

tigerbine

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Wo steht das? In der Defmenge ist x=0 sinnvoller Weise ausgeschlossen.

27.09.2009, 22:21

bandchef

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ja aber in der aufgabe steht diese bedingung auch noch dabei. steht auch in meinem ersten post:

Zitat:

Definitionsmenge gleich R aber ohne "0" und a ist aus R aber auch ohne "0"

27.09.2009, 22:24

tigerbine

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Das habe ich nicht gesehen. Ok, dann fällt der Fall hat raus.

27.09.2009, 22:28

bandchef

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ja ansonsten stimmts doch jetzt mit meiner lösung überein, oder?
das einzige was ich noch nicht verstehe, ist das "größer-gleich 0" es darf nicht "gleich 0" sein; ist doch aus der Def.-menge draußen...

adit: ah sorry, jetzt hab ichs verstanden; es darf natürlich auch gleich null sein. ich darf nur keine "0" für a einsetzen... *sffg*

danke, bandchef

27.09.2009, 22:32

tigerbine

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Gib mir bitte mal den Originalwortlaut deiner Musterlösung. Ich verstehe so nicht, was du willst.

a=1

a=-1

Beide Fälle sind definiert und es gibt 2 Nullstellen.

Hast du f(x) mit x verwechselt?

27.09.2009, 22:35

bandchef

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fa besitzt keine Nst. falls $\begin{eqnarray*} \frac{2a-1}{a}\leq0 \end{eqnarray*}$

wenn es nun aber eintritt das term oben gleich "0" ist, dann hab ich ja eine nst. da eine "0" unter einer wurzel ja eine "0" ergibt und das eine gültige lösung ist

das ist der Wortlaut den ich nicht verstehe...

27.09.2009, 22:38

tigerbine

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Weil man dann keine Wurzel ziehen darf. Hab ich doch auch geschrieben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

Links steht eine Quadratzahl. Folglich muss gelten

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

und daher schließen wir auch das Intervall [0,0.5[ aus.

27.09.2009, 22:47

bandchef

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ja aber, wenn man nun der fall eintritt, dass der term gleich "0" wird, dann gibt es ja eine Lösung, da eine "0" unter der Wurzel ja ein gültiges ergebnis liefer nämlich 0...

27.09.2009, 22:49

tigerbine

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*Quatsch*

27.09.2009, 22:50

bandchef

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Zitat:

die möglichen Nst. von ga lauten: $\begin{eqnarray*} fa(x)=\pm\sqrt{\frac{2a-1}{a}} \end{eqnarray*}$ Das muss stimmen, da ich es selbst herausbekommen hab und auch in der lösung steht. fa(x) besitzt genau zwei Nst. falls $\begin{eqnarray*} \frac{2a-1}{a}>0 \end{eqnarray*}$ Das ist klar... fa(x) besitzt keine Nst. falls $\begin{eqnarray*} \frac{2a-1}{a}\leq0 \end{eqnarray*}$ Und da ist mein Problem. Wenn die Nullstelle "gleich 0" ist (die Wurzel aus Null ist ja Null und somit hab ich eine gültige lösung), dann hab ich ja eine einzige Nullstelle nämlich 0...

das ist der genaue wortlaut meiner lösung... ich hab einfach ein problem warum das gleich 0 keine lösung bzw. nst. liefern soll...

27.09.2009, 22:54

tigerbine

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Doch, klar. Der Plot täuscht wegen stetiger Ergänzung. Sorry. Im Falle a=0.5 würde unsere Nullstelle bei x=0 liegen, was aber wegen der Definitionsmenge von x nicht möglich ist.

Ich hätte hier auch schon schreiben müssen:

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

Links steht eine Quadratzah >0 da x ungleich 0 . Folglich muss gelten

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 22:56

bandchef

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d.h. in der lösung steht was falsches oder wie?

27.09.2009, 22:58

tigerbine

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Wieso, ich dachte wir hätten das nun aufgeklärt.

27.09.2009, 23:00

bandchef

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ich werde es mir morgen nochmal genau durchschauen...

danke für deine hilfe, bandchef

27.09.2009, 23:05

tigerbine

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RE: Nullstellen... ?
$\begin{eqnarray*} f_a(x):=-ax + \frac{2a-1}{x},~D_{f_{a}}=\mathbb R\setminus\{0\}, a \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-ax + \frac{2a-1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax = \frac{2a-1}{x} \end{eqnarray*}$

x ungleich 0

$\begin{eqnarray*} ax^2 = 2a-1 \end{eqnarray*}$

a ungleich 0.

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

Links steht eine positive Quadratzahl (x ist ja nicht 0). Folglich muss gelten

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{2a-1}{a} \end{eqnarray*}$

damit man die Wurzel ziehen kann.

$\begin{eqnarray*} a \in ]-\infty,0[ \cup ]0.5,\infty[ \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen lauten dann

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} =\sqrt{\frac{2a-1}{a}} \end{eqnarray*}$

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