Beweis zu Mengen

28.09.2009, 20:04

pablosen

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Beweis zu Mengen

Hallo liebes Forum

Ich muss hier beweisen, dass folgende Gleichung wahr ist:

$\begin{eqnarray*} A \cap B = B \cap A \end{eqnarray*}$

Muss ich da noch irgendwie begründen, dass ich das auf

$\begin{eqnarray*} A \cap B = A \cap B \end{eqnarray*}$ umgruppieren kann?

Nicht, oder? Ist ja wie 1+2=2+1=3 ? Was meint ihr?

Gruss&Danke fürs Lesen

28.09.2009, 20:07

tmo

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Bei so elementaren Sachen ist es immer wichtig, direkt über die Definition zu gehen. Schreib die also mal hin.

28.09.2009, 20:20

pablosen

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Danke dir. Geile Signatur übrigens.

Menge 1:
Die Menge der Elemente, die in A als auch in B enthalten sind.

Menge 2:
Die Menge der Elemente, die in B als auch in A enthalten sind.

Es folgt, dass Menge 1 = Menge 2.

? ich würds so machen ?

28.09.2009, 20:26

kiste

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Das ist nicht die Definition.
Die ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} A\cap B := \{x | ...\} \end{eqnarray*}$ die ... sollst du ergänzen

28.09.2009, 20:35

pablosen

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$\begin{eqnarray*} A\cap B := \{x | x \in A, x \in B\} \end{eqnarray*}$

oder vlt. noch besser:

$\begin{eqnarray*} A\cap B := \{x | x \in A \land x \in B\} \end{eqnarray*}$
(wie macht man das logische UND in latex?)

edit: Das "UND" in \land umgeschrieben

28.09.2009, 20:38

kiste

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Genau.

$\begin{eqnarray*} A\cap B := \left\{ x \mid x\in A \land x\in B\right\} \end{eqnarray*}$
\land ist Und
\{ für die Klammer {

Die Behauptung wurde also darauf reduziert dass $\begin{eqnarray*} A \land B \Leftrightarrow B \land A \end{eqnarray*}$ für Aussagen gilt. Das könnte man beispielsweise durch eine Wahrheitstabelle zeigen

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29.09.2009, 17:24

pablosen

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Hallo nochmal, Kiste.

Naja, anhand einer Wahrheitstabelle ist das nicht zu beweisen, ausser diese Tabelle beinhaltet Werte von -unendlich bis +unendlich. Durch Beispiele kann man nichts Richtiges beweisen. Man kann durch Beispiele nur beweisen, dass etwas nicht gilt.

Hoffe, hab das richtig verstanden.

Grüsse
Pablo

29.09.2009, 17:27

Duedi

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Wieso unendlich? Es gibt für eine Aussage nur zwei Werte: wahr und falsch. Du hast also 4 Varianten, die du überprüfen musst (2 für A und 2 für B).

29.09.2009, 18:10

pablosen

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Zitat:

Original von Duedi
Wieso unendlich? Es gibt für eine Aussage nur zwei Werte: wahr und falsch. Du hast also 4 Varianten, die du überprüfen musst (2 für A und 2 für B).

Ah, sorry, ich machte einen Denkfehler.

Ihr würdet natürlich keine Zahlen nehmen, sondern Variablen. Dann geht das natürlich.

Gruss&Thx
Pablo

29.09.2009, 19:20

pablosen

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Hier der Beweis:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} A \cap B \setminus A \cap C = A \cap B \setminus C \end{eqnarray*}$

Deklarationen:
$\begin{eqnarray*} k,l,m \in A \cap B<br /> m,n,o \in A \cap C<br /> m,n,o,p \in C \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \{k,l,m\} \setminus \{m,n,o\} = \{k,l\}<br /> <br /> \{k,l,m\} \setminus \{m,n,o,p\} = \{k,l\}<br /> <br /> Es folgt:<br /> \{k,l\} = \{k,l\} \end{eqnarray*}$

Somit ist bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} A \cap B \setminus A \cap C = A \cap B \setminus C \end{eqnarray*}$
wahr ist.

Richtig?

29.09.2009, 19:27

Duedi

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Nein, denn du zeigst die Behauptung jetzt nur für spezielle dreielementige Mengen. Warum machst du nicht mit kistes Vorschlag weiter?

29.09.2009, 20:38

pablosen

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Ich versteh nicht, was ich machen soll. Hast du ev. ein Beispiel, wie man für sowas eine Wahrheitstabelle macht?

Zitat:

Original von Duedi
Nein, denn du zeigst die Behauptung jetzt nur für spezielle dreielementige Mengen. Warum machst du nicht mit kistes Vorschlag weiter?

Die Menge C ist doch 4-elementig.

Ich dachte bisher immer, diese Beweise gelten dann für alle $\begin{eqnarray*} k,l,m \in A \end{eqnarray*}$ ...und nicht nur für die drei? Warum nicht für alle?

(Darum nehme ich doch Variablen. Weil die eben variabel sind.)

Sorry kannst du mir da weiterhelfen? Was denk ich da jetzt falsch?

29.09.2009, 21:14

pablosen

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Ok, Danke, habe eine gemacht.

Ist die angehängte richtig so (ist meine erste bezüglich Mengen)?

29.09.2009, 21:40

pablosen

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So, jetzt ists die Richtige. Sorry für die Verwirrung. Das Bild hier ist zum oberen Beispiel und das oben zu dem nachher, ihr sehts ja. Die sind schon richtig so, oder?

29.09.2009, 22:48

Duedi

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korrekt. Damit hast du bewiesen dass für beliebige Aussagen A, B
$\begin{eqnarray*} A \land B \Leftrightarrow B\land A \end{eqnarray*}$ gilt

07.10.2009, 21:55

pablosen

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Zitat:

Original von Duedi
korrekt. Damit hast du bewiesen dass für beliebige Aussagen A, B
$\begin{eqnarray*} A \land B \Leftrightarrow B\land A \end{eqnarray*}$ gilt

Vlt. noch zur Klarstellung: Die Wahrheitstabellen sind nicht ganz richtig, so eine Lehrerin. Anstatt "1" und "0" müsste ich "wahr" und "falsch" schreiben.

Und zusätzlich müsste in der Titelleiste anstatt A eine Aussage stehen.
Anstatt A also: " $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ " , anstatt B " $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ ".

Anstatt bspweise $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ müsste dann stehen: $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \end{eqnarray*}$

... usw.

Diese Aussagen wären dann "falsch" oder "wahr".
Jo, für Puristen halt.

Grüsse
Pablo

07.10.2009, 23:28

jester.

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Dass $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ keine Aussagen sind, ist tatsächlich korrekt. Den Anfang des Beitrages kommentiere ich lieber nicht.

08.10.2009, 12:11

pablosen

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Zitat:

Original von jester.
Dass $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ keine Aussagen sind, ist tatsächlich korrekt. Den Anfang des Beitrages kommentiere ich lieber nicht.

Wieso nicht?

08.10.2009, 12:14

jester.

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Weil $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ einfach nur eine Menge ist, bestehend aus den Elementen, die sowohl in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind.

Erst mit $\begin{eqnarray*} x\in ... \end{eqnarray*}$ wird daraus die Aussage "x ist in ... enthalten".

08.10.2009, 18:25

pablosen

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Zitat:

Original von jester.
Weil $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ einfach nur eine Menge ist, bestehend aus den Elementen, die sowohl in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind.

Erst mit $\begin{eqnarray*} x\in ... \end{eqnarray*}$ wird daraus die Aussage "x ist in ... enthalten".

Okay, schon klar, da hab ich mich missverständlich ausgedrück, sorry.

Ich fragte "Wieso nicht?" zum zweiten Teil deiner Antwort. Zum Teil mit "...kommentiere ich lieber nicht." verwirrt

verwirrt

smile

08.10.2009, 19:55

Manus

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Zitat:

Original von pablosen

Zitat:

Original von jester.
Weil $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ einfach nur eine Menge ist, bestehend aus den Elementen, die sowohl in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind.

Erst mit $\begin{eqnarray*} x\in ... \end{eqnarray*}$ wird daraus die Aussage "x ist in ... enthalten".

Okay, schon klar, da hab ich mich missverständlich ausgedrück, sorry.

Ich fragte "Wieso nicht?" zum zweiten Teil deiner Antwort. Zum Teil mit "...kommentiere ich lieber nicht." verwirrt

verwirrt

smile

Weil es Humbug ist, darauf zu bestehen, dass eine Wahrheitstafel mit "wahr" und "falsch" ausgefüllt wird.

Wir haben an der Uni bisher immer 1 und 0 verwendet, andere machen es mit w und f; macht halt jeder letztlich wie er möchte, so lange du es einheitlich machst (und vllt, gesetzt den Fall du benutzt ein ungewöhnliches System, vorher erklärst) ist an sich jede Methode zulässig.

Und Jester wollte dazu nichts schreiben, weil es so spät am Abend schlecht für den Blutdruck ist, sich noch groß aufzuregen.

08.10.2009, 22:21

pablosen

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Ok, hast ja Recht, Manus. Thx. Darf man ja nicht alles so ernst nehmen.

Grüsse
Pablo

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