differentialgleichung

29.09.2009, 00:40	tjoah	Auf diesen Beitrag antworten »
differentialgleichung Bin beim Lernen auf folgendes Problem (natürlich ohne Lösungsweg im Skript )gestoßen. Komme zwar bei meiner Lösung auf etwas ähnliches wie Mathematica brüte jetzt aber schon drei Stunden über dem Problem und finde einfach den Fehler nicht ... vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen? Geg: Beschleunigung: $\begin{eqnarray} a = -kv^{3} \end{eqnarray}$ Anfangsgeschwindigkeit: $\begin{eqnarray} v(t = 0) = v_{0} \end{eqnarray}$ Ges: Zurückgelegter Weg nach $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ Mit Mathematica habe ich mir mal das richtige Ergebnis ausgerechnet: (Mathematica-Befehl: DSolve[s''[t] == -k(s'[t])^3, s[t], t] ) $\begin{eqnarray} s_1 = \pm \frac{(2k \Delta t - 2C[1])^{ \frac{1}{2} }}{k} + C[2] \end{eqnarray}$ wobei C[2] wegen $\begin{eqnarray} s(t = 0) = 0 \end{eqnarray}$ gleich 0 ist und C[1] noch mit Randbedingung auszurechnen wäre, aber in dem Fall nicht soo wichtig, da nur einfach Einsetzerei. Hier mein bisheriger Ansatz: $\begin{eqnarray} a = \ddot{s} = -kv^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot{s} = -k \dot{s}^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \frac{d}{\dd t})^{2} s = -k(\frac{d}{\dd t})^{3} s^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 = -k \frac{d}{\dd t}s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \frac{1}{k} \int_{0}^{ \Delta t}~~ \dd t = \int_{0}^{ s_{1} }~s~ \dd s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \frac{1}{k} \Delta t = \frac{s_1^{2}}{2} + C[1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_1 = (- \frac{2 \Delta t + 2kC[1]}{k})^{ \frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ Schon im vorraus Danke für eure Mühe!
29.09.2009, 10:08	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: differentialgleichung Was du da machst, ist kompletter Unfug. $\begin{eqnarray} \ddot s=-k \dot s^3 \end{eqnarray}$ ist noch richtig. Das ist die Ausgangsgleichung in anderer Form. Aber die nächste Zeile ist schon falsch. Es ist $\begin{eqnarray} \dot s^3=\left (\frac{ds}{dt} \right )^3 \neq \left (\frac{d}{dt} \right )^3 s^3 \end{eqnarray}$ Was da steht, ist die dritte Potenz der ersten Ableitung von s. Hingeschrieben hast du die dritte Ableitung der dritten Potenz von s. Die nächste Zeile ist noch schlimmer. Du kannst doch Ableitungen nicht wie Variablen behandeln, die mit der Funktion multipliziert werden und dann Ableitungen und Funktionen gegeneinander kürzen. Um die DGL zu lösen, kann man sie wegen $\begin{eqnarray} a=\dot v \end{eqnarray}$ schreiben als: () $\begin{eqnarray} \dot v =-kv^3 \end{eqnarray}$ Das ist eine DGL mit getrennten Veränderlichen, die man mittels der Substitutionsregel integrieren kann. Ich schreibe das mal ausführlich hin, weil die Mathematiker hier eine Abkürzung benutzen, die dich wieder zu falschen Interpretationen der Ableitungssymbole verführen könnten. () wird umgeformt zu: $\begin{eqnarray} \frac{\dot v}{v^3}=-k \end{eqnarray}$ Jetzt wird einfach über t integriert: $\begin{eqnarray} \int ~\frac{\dot v}{v^3}~dt=\int ~-k~dt +C_1 \end{eqnarray}$ Für die linke Seite erhält man mit der Substitutionsregel: $\begin{eqnarray} \int ~\frac{\dot v}{v^3}~dt=\int ~\frac{1}{v^3}\frac{dv}{dt} ~dt=\int ~\frac{1}{v^3}~dv =-\frac{1}{2v^2} \end{eqnarray}$ Den Rest solltest du alleine schaffen. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die DGL auch noch eine singuläre Lösung hat, nämlich: $\begin{eqnarray} s=const. \end{eqnarray}$ Diese rhält man nicht über den systematischen Weg oben. Sie kommt zum tragen, wenn die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} v(t=0)=0 \end{eqnarray}$ lautet.
29.09.2009, 14:24	tjoah	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: differentialgleichung Wow danke! Ja jetzt komme ich auf das richtige Ergebnis! Wäre wohl von selber nie auf den richtigen Lösungsweg gekommen ... sollte wohl noch viele DGL üben ...

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