Quotientenkriterium

29.09.2009, 08:29

FrogThomas

Quotientenkriterium

Ich frage mich gerade welcher Fomelsammlung ich denn nun Recht geben darf. Ich gucke nach dem Quotientenkriterium, finde aber zwei unterschiedliche Auskünfte:

Gibt es einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} q < 1, \end{eqnarray*}$ so dass für alle $\begin{eqnarray*} n > n_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q<1, \end{eqnarray*}$
so ist die Reihe absolut konvergent.
Erfüllen die Glieder einer unendlichen Reihe die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=q<1, \end{eqnarray*}$
so ist die Reihe absolut konvergent.

Die Variante a findet sich in einer meiner alten (1993) Formelsammlung, steht allerdings auch in dieser Form bei Wikipedia. Die Variante b wird z. B. von Papula vorgeschlagen, ist aber auch an sehr vielen anderen Stelle zu finden.

Nach meinem Verständnis muss ich für die Variante a einfach nur den Quotienten von zwei aufeinander folgenden Folgengliedern betrachten. Also nix mit Grenzwert. Bei b wiederum sollen zwei Folgenglieder ins Verhältnis gesetzt werden, um dann den Grenzwert des entstanden Ausdrucks zu betrachten. Ist doch richtig so, oder??

Eigentlich gehe ich davon aus, dass beide Varianten zum korrekten Ergebnis kommen, aber wo liegen dann die jeweiligen Vor-/Nachteile?

29.09.2009, 09:07

E.S.P.

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RE: Quotientenkriterium

Zitat:

Original von FrogThomas
Ich frage mich gerade welcher Fomelsammlung ich denn nun Recht geben darf.

Beiden!

29.09.2009, 09:43

klarsoweit

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RE: Quotientenkriterium

Zitat:

Original von FrogThomas
Eigentlich gehe ich davon aus, dass beide Varianten zum korrekten Ergebnis kommen, aber wo liegen dann die jeweiligen Vor-/Nachteile?

Der Nachteil bei Variante a ist, daß du erstmal ein n_0 finden mußt, so daß für alle n > n_0 die Ungleichung gilt. Du mußt da also 2 Dinge tun: Ein n_0 finden und die Gültigkeit der Ungleichung nachweisen.

Bei der Variante b brauchst du "nur" den Grenzwert bilden, was meistens einfacher ist (sofern er existiert). Aus der Variante b folgt dann die Variante a.

29.09.2009, 14:22

FrogThomas

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¡Muchas Gracias!

29.09.2009, 14:38

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Zugunsten von Variante a) muss man aber sagen, dass sie allgemeiner ist: D.h., es gibt Reihen, die Bedingung a) erfüllen, aber Bedingung b) nicht - einfach, weil der dort angegebene Grenzwert nicht existiert.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} 3^{-n} & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 2\cdot 3^{-n} & \;\mbox{falls $n$ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

da wechselt der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ alternierend zwischen $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Zugegebenermaßen wird es kaum ein "Schulbeispiel" geben, wo man wirklich mal a) statt b) nutzen wird. Augenzwinkern

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