Spatprodukt bei vierseitigen Pyramiden

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flamingo Auf diesen Beitrag antworten »
Spatprodukt bei vierseitigen Pyramiden
Hallo zusammen,

ich hab hier ein kleines einfaches Problem bei dem ich mir nicht sicher bin.

Mithilfe des 1/6 des Spatprodukts lässt sich das Volumen einer 3-seitigen Pyramide errechnen.

Kann man dann mithilfe 1/3 des Spatprodukts das Volumen einer 4-seitigen Pyramide errechnen?

Vorrausgesetzt natürlich das die Grundfläche ein Parallelogramm ist.


Danke und viele Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen stimmt das sicher nicht; denn es kommt auf die Form der viereckigen Grundfläche an. Du kannst aber jede vierseitige Pyramide in zwei dreiseitige zerlegen (Diagonale durch die Grundfläche ziehen) und für beide das Volumen mit dem Spatprodukt ausrechnen.
Im Spezialfall, daß die Grundfläche ein Rechteck und die Pyramide gerade ist, kann man natürlich so rechnen, wie du vorschlägst, allein schon, da die beiden Teile zueinander kongruent sind. Ob die Formel auch gilt, wenn die Grundfläche ein beliebiges Paralllelogramm ist, wäre zu überlegen. So von vorneherein würde ich das nicht ausschließen. Das muß man einfach mit Spatprodukt- bzw. Determinantenregeln nachrechnen.

Edit:
Die Formel gilt auch bei Parallelogrammen als Grundflächen; denn wenn man wie oben vorgeschlagen zerlegt, sind die Grundflächen kongruent und die beiden Teilpyramiden haben auch dieselbe Höhe. Also sind die Teile volumengleich.
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