Gruppenhomomorphismus

29.09.2009, 18:32

Black

Gruppenhomomorphismus

Gegeben sind die Gruppen $\begin{eqnarray*} (A, \circ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (B,*) \end{eqnarray*}$ und die strukturverträgliche Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A \longrightarrow B \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} f(e_A) = e_B \end{eqnarray*}$

Für Denkanstöße wäre ich sehr dankbar.

Bisher habe ich versucht irgendwie die Strukturverträglichkeit auszunutzen, etwa:

$\begin{eqnarray*} f(e_A \circ a) = f(e_A) * f(a) \end{eqnarray*}$

aber das bringt mich nicht wirklich weiter unglücklich

29.09.2009, 18:36

Elvis

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Den Inhalt der Klammer auf der linken Seite kannst du berechnen, das bringt dich weiter.

29.09.2009, 18:50

Black

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Dann folgt also
$\begin{eqnarray*} f(a)= f(e_a) * f(a) \end{eqnarray*}$ und daraus kann ich wiederum

$\begin{eqnarray*} f(a) * f(a)^-1 = f(e_a) \end{eqnarray*}$ folgern

und per Definition muss $\begin{eqnarray*} f(a) * f(a)^-1 = e_B \end{eqnarray*}$ gelten, womit die Behauptung bewiesen wäre.
Stimmt das alles soweit?

29.09.2009, 19:22

Elvis

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Bis auf ein paar kleine Schreibungenauigkeiten ist das richtig, also gilt.
$\begin{eqnarray*} f(e_A)=f(e_A)(f(a)f(a)^{-1})=(f(e_A)f(a))f(a)^{-1}=f(e_Aa)f(a)^{-1}=f(a)f(a)^{-1}=e_B \end{eqnarray*}$

Noch einfacher geht das so
$\begin{eqnarray*} f(e_A)=f(e_Ae_A^{-1})=f(e_A)f(e_A)^{-1}=e_B \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 01:24

Black

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Okay, alles klar, vielen Dank für deine Hilfe smile

30.09.2009, 09:53

Reksilat

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Zitat:

Original von Elvis
Noch einfacher geht das so
$\begin{eqnarray*} f(e_A)=f(e_Ae_A^{-1})=f(e_A)f(e_A)^{-1}=e_B \end{eqnarray*}$

Wobei man hierfür vorher zeigen müsste, dass immer $\begin{eqnarray*} f(x^{-1})=f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Um das zu zeigen, bräuchte man imho die obige Behauptung. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

30.09.2009, 11:35

Mystic

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Zitat:

Original von Reksilat

Wobei man hierfür vorher zeigen müsste, dass immer $\begin{eqnarray*} f(x^{-1})=f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Um dass zu zeigen, bräuchte man imho die obige Behauptung. Augenzwinkern

In der Tat, das wäre ein klassischer circulus vitiosus... Big Laugh

Aus logischer Sicht scheint mir es mir am einfachsten, zunächst zu zeigen, dass es in einer Gruppe G nur ein Idempotent, nämlich das Einselement geben kann, indem man eine Gleichung u u =u in G mit dem Inversen von u multipliziert. Anschließend zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} f(e_A) \end{eqnarray*}$ ein Idempotent ist, nämlich so

$\begin{eqnarray*} f(e_A) =f(e_A e_A) = f(e_A)f(e_A) \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 19:15

Elvis

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Okay. Das "noch einfacher" war "zu einfach". Der erste Beweis ist richtig. smile

Dann habe ich mir überlegt, wozu ich ein a brauche bzw. wo ich es hernehme, oder ob ich sagen müßte "für alle a aus A". Man kann für a das neutrale Element aus A einsetzen, dann wird der Beweis eindeutig, aber nicht kürzer. unglücklich

Deswegen habe ich einen einfacheren Beweis gesucht und gefunden, nur schade, dass er eine Lücke hat. Augenzwinkern

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