ein neues rosinenproblem

29.09.2009, 23:38

julia jung

Auf diesen Beitrag antworten »

ein neues rosinenproblem

Hallo, wie das thema schon sagt handelt es sich um ein neues Rosinenproblem...habe schon hier im forum herumgesucht doch bin nicht auf die lösung gekommen...vielleicht könnt und wollt ihr mir noch einmal helfen...es handelt sich um die aufgabe:

Aus 3 kg Teig werden Rosinenbrötchen zu je 60 g hergestellt. Wieviele Rosinen müssen
sich mindestens im Teig befinden, damit für jedes Brötchen (einzeln betrachtet!) die
Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 3 Rosinen enthält, mindestens 80% beträgt?
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 2 Rosinen enthält?
Das Gewicht der Rosinen ist dabei zu vernachlässigen.

Ich habe es schon über binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung versucht,aber leider sehr erfolglos.
ich denke,dass es wichtig ist,dass man jedes brötchen einzeln betrachtet,aber wie weiß ich nicht...habe auch schon überlegt erst mit mindestens einer rosine anzufangen usw. aber da kam ich auch auf keinen grünen zweig...
Vielen Dank schonmal für ein paar Vorschläge oder Lösungen im voraus

29.09.2009, 23:57

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

3kg Teig, 60g pro Brötchen, daraus folgt die Brötchenzahl.
Jetzt ist die Frage, auf wieviele Arten kann ich x Rosinen auf y Brötchen aufteilen und bei wie vielen dieser Möglichkeiten sind mindestens zwei Rosinen in einem Brötchen?
Siehe dazu: Möglichkeiten, N ununterscheidbare Kugeln in k Urnen aufzuteilen ist:
$\begin{eqnarray*} \binom{N+k-1}{N} \end{eqnarray*}$
Wenn bereits zwei Rosinen pro Brötchen fest belegt sind, reduziert sich N eben ein bisschen Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Ich bin mir dabei etwas unsicher, also warte vielleicht noch, ob jemand anderes postet.

30.09.2009, 09:36

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, ist die Sache einfacher. Wenn man eines der Brötchen beliebig auswählt, soll die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Rosinen drin sind, mindestens 80 % betragen.

Der Teig ergibt 50 Brötchen. Ich wähle Brötchen Nr. 19. Die Wahrscheinlichkeit, dass Rosine Nr.1 hineinkommt/nicht hineinkommt ist p = 1/50, q = 49/50. Die Wahrscheinlichkeit, dass Rosine Nr.2 hineinkommt/nicht hineinkommt ist p = 1/50, q = 49/50. Die Wahrscheinlichkeit, dass Rosine Nr. 3 ...

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau, höchstens, mindestens k Rosinen in das Brötchen kommen, ist also eine typische Aufgabe für die Binomialverteilung.

30.09.2009, 12:48

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint mir eine geradezu klassische Aufgabe für die Poisson Verteilung zu sein...

30.09.2009, 12:56

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nur als Approximation. Die exakte Rechnung geht schon so, wie Huggy es erläutert hat.

30.09.2009, 13:10

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war mir schon klar, nur ist das eben genau der Typ von Aufgaben, welche für die Poissonverteilung wie geschaffen sind... Ich kann das jetzt gerade nicht selbst nachprüfen, aber es wäre sicher sehr lehrreich, wie viel (oder wie wenig) das Ergebnis von dem der exakten Rechnung abweicht...

Anzeige

30.09.2009, 13:18

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Poissonrechnung wird eine Rosine mehr gebraucht, nun ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.09.2009, 15:10

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt die Frage: wo liegt bei meiner Version der Denkfehler?
In Huggys Version kann ich dann ja einfach das Ergebnis hoch 50 nehmen und bekomme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle mehr als 2 Rosinen beinhalten. Aber mit dem Ergebnis aus meiner Idee deckt sich das überhaupt nicht.
( Das Huggy's Version stimmt hab ich an einer 1 000 000-fachen Testreihe ausprobiert, das Ergebnis überdeckt sich mit der berechneten Wahrscheinlichkeit auf über vier Stellen Big Laugh

Big Laugh

)

30.09.2009, 15:20

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst den Denkfehler, dass du deine Aufteilungsmöglichkeiten gemäß "Kombinationen mit Wiederholung" als Laplaceraum (d.h. als gleichwahrscheinlich) ansiehst. Dem ist nicht so, und das ist hier schon zigmal im Board besprochen worden - such mal ein bisschen.

EDIT: Z.B. hier

Wahrscheinlichkeit der Augensumme

30.09.2009, 15:44

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. ich habe einfach die Formel genommen und nicht bemerkt, dass aber bereits nur noch die unterschiedlichen Verteilungen, nicht aber jede Möglichkeit einzeln jede Verteilung zu erreichen gezählt wird.
Anders formuliert sind die "Urnen" aus der Formel nicht durchnummeriert sondern bilden lediglich ein ungeordnetes k-Tupel?

Habe ich das so richtig verstanden?

30.09.2009, 15:47

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bakatan
dass aber bereits nur noch die unterschiedlichen Verteilungen, nicht aber jede Möglichkeit einzeln jede Verteilung zu erreichen gezählt wird.

Dem Satz kann ich weder grammatisch, geschweige denn inhaltlich folgen. unglücklich

unglücklich

30.09.2009, 15:50

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Haha ich hab mal wieder zu wirr formuliert, entschuldige.
Was ich meine ist, dass in der Formel die ich verwendet habe die Verteilungen ( kleineres Beispiel, 3 Urnen 3 Kugeln )
3,0,0 - 0,3,0 - 0,0,3 nur als eine Möglichkeit aufgefasst werden, drei Kugeln auf drei Urnen zu verteilen.

edit: was bei mehr Urnen und gewissen Verteilungen dazu führt, dass ziemlich viele Kombinationen zusammen fallen

edit2: Verkorkste Formulierungen sind wohl meine Stärke...

30.09.2009, 15:56

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bakatan
In Huggys Version kann ich dann ja einfach das Ergebnis hoch 50 nehmen und bekomme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle mehr als 2 Rosinen beinhalten.

Nein, das kannst du nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewähltes Brötchen eine bestimmte Anzahl Rosinen bekommt, ist für alle Brötchen gleich. Wenn du aber annimmst, dass ein oder mehrere Brötchen diese Anzahl Rosinen bekommen haben, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Brötchen wieder dieselbe Anzahl bekommt, durchaus nicht gleich der Wahrscheinlichkeit für das beliebig ausgewählte Brötchen, denn jetzt sind ja zusätzlich die Bedingungen für die vorherigen Brötchen zu erfüllen.

Ein Extrembeispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, das ein Brötchen alle Rosinen bekommt, ist für alle Brötchen gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Brötchen alle Rosinen bekommen, ist aber schlicht Null und nicht diese Wahrscheinlichkeit hoch Anzahl der Brötchen.

Vielleicht hilft das Beispiel beser als die abstrakte Mathematik.

30.09.2009, 15:56

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das trifft es nicht. Die Urnen (=Brötchen) sind in deinem Modell schon unterscheidbar, aber die Kugeln (=Rosinen) sind es nicht. Das kann man so sehen, führt aber zu den genannten Problemen.

Das Modell mit den unterscheidbaren Rosinen (auch wenn wir, um im Bild zu bleiben, sie tatsächlich dann nicht unterscheiden können) hat den Vorteil, dass es Laplacesch ist.

Ich hab ja oben nochmal einen Link nachgeliefert, weiß jetzt nicht, ob du das gelesen hast.

30.09.2009, 16:11

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy: Hm, stimmt auffallend. Aber die so errechnete Wahrscheinlichkeit gab wohl weil ich die Nummern relativ groß gewählt habe beinahe das echte Ergebnis. Wie rechnet man denn dann die Wahrscheinlichkeit, dass in allen Brötchen mindestens 3 Rosinen drin sind aus?

@Arthur: Danke für die Geduld Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mittlerweile denke ich, dass eben nur die verschiedenen Reihenfolgen, die dasselbe Ergebnis erreichen, zusammenfallen:
(3 Urnen, 3 Kugeln )
$\begin{eqnarray*} (K_1,K_3),(K_2),() \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (K_1,K_2),(K_3),() \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (K_2,K_3),(K_1),() \end{eqnarray*}$ ergeben eben dann nur eine Möglichkeit.
Für einen Laplaceraum müsste ich diese drei aber einzeln zählen?

edit: Erstaunt2

Erstaunt2

Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht nur noch weiter verheddert

30.09.2009, 16:38

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Schreibweise kann ich nun nichts anfangen, die Klammerung ist mir total suspekt.

---------------------------------------

Ich mach's mal an einem drastischen Beispiel klar: Wir verteilen mal genau 50 Rosinen auf die 50 unterscheidbaren Brötchen und betrachten die zwei Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... im ersten Brötchen sind alle 50 Rosinen, in den anderen also keine

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... in jedem Brötchen ist genau eine Rosine

Nach Huggys zweifelsohne richtigem Modell (unterscheidbare Rosinen) gilt einfach $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{1}{50^{50}} \approx 1.1\cdot 10^{-85} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{50!}{50^{50}} \approx 3.4\cdot 10^{-21} \end{eqnarray*}$ .

Nach deinem ersten Modell (nicht unterscheidbare Rosinen) sind unter der Laplace-Annahme die beiden Aufteilungsmöglichkeiten gleichwertig mit jeweils Wkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\binom{99}{50}} \approx 2.0 \cdot 10^{-29} \end{eqnarray*}$ .

30.09.2009, 16:46

Julia Jung

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die vielen Antowrten...zum Thema Poisson denke ich,dass es zu einer zu großen Abweichung käme...mein Problem ist ja eher,dass ich schon eine wahrscheinlichkeit nämlich p= 0,8 gegeben habe und mit dieser müssen in 50 Brötchen mindestens 3 Rosinen sein...anders formuliert müssen in mindestens 40 Brötchen (0,8*50) mindestens 3 Rosinen sein...und da komme ich einfach auf keinen gescheiten ansatz!

30.09.2009, 17:00

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Julia Jung
anders formuliert müssen in mindestens 40 Brötchen (0,8*50) mindestens 3 Rosinen sein

Nein, so ist deine ursprüngliche Formulierung von oben gewiss nicht zu deuten. unglücklich

unglücklich

30.09.2009, 17:28

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Julia Jung
Danke erstmal für die vielen Antowrten...zum Thema Poisson denke ich,dass es zu einer zu großen Abweichung käme...mein Problem ist ja eher,dass ich schon eine wahrscheinlichkeit nämlich p= 0,8 gegeben habe und mit dieser müssen in 50 Brötchen mindestens 3 Rosinen sein...anders formuliert müssen in mindestens 40 Brötchen (0,8*50) mindestens 3 Rosinen sein...und da komme ich einfach auf keinen gescheiten ansatz!

Du suchst

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)\geq 0,8 \end{eqnarray*}$

Es ist:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)=1-P(X \leq 2) \end{eqnarray*}$

Also brauchst du

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 2) \leq 0,2 \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 2)=B(n, 2, p = 1/50) \end{eqnarray*}$

Dabei soll B die kumulative Binomialverteilung sein und n ist die Anzahl der Rosinen. Du musst also lediglich

$\begin{eqnarray*} B(n, 2, 1/50) = 0,2 \end{eqnarray*}$

numerisch nach n auflösen und nach der richtigen Seite runden. Man erledigt das auch leicht, in dem man probeweise ein paar Werte für n einsetzt.

Die Begründung für diesen Weg steht in meinem ersten Beitrag.

30.09.2009, 17:33

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bakatan
@Huggy: Hm, stimmt auffallend. Aber die so errechnete Wahrscheinlichkeit gab wohl weil ich die Nummern relativ groß gewählt habe beinahe das echte Ergebnis. Wie rechnet man denn dann die Wahrscheinlichkeit, dass in allen Brötchen mindestens 3 Rosinen drin sind aus?

Das ist eine Frage für Arthur. Kann sein, dass er sie in einem der diversen Rosinenthreads schon mal beantwortet hat. Ich war zu faul zum suchen.

30.09.2009, 17:48

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, dass mein Modell nicht funktioniert, da ich mehrere Möglichkeiten zusammen werfe. Mir ist aber etwas unklar, welche genau.

Meine Vermutung ist eben, was wegen meiner komischen Schreibweise nicht ganz rüber gekommen ist:
Ich werfe alle unterschiedlichen Reihenfolgen, die zum selben Ergebnis führen, zusammen. Dadurch wäre dann sofort nicht jede Möglichkeit gleich wahrscheinlich, da es für A eben nur eine Reihenfolge gibt, für B jedoch eben 50!.

In der Aufgabenstellung war nie von "unterscheidbaren Rosinen" die Rede. Ich hatte mich noch nicht damit auseinander gesetzt, dass man natürlich trotzdem unterscheidbare nehmen und dann zusammenfassen kann. Was eine Denkeinschränkung! Darüber muss ich trotzdem erst einmal hinweg kommen.

30.09.2009, 18:30

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Bakatan
@Huggy: Hm, stimmt auffallend. Aber die so errechnete Wahrscheinlichkeit gab wohl weil ich die Nummern relativ groß gewählt habe beinahe das echte Ergebnis. Wie rechnet man denn dann die Wahrscheinlichkeit, dass in allen Brötchen mindestens 3 Rosinen drin sind aus?

Das ist eine Frage für Arthur. Kann sein, dass er sie in einem der diversen Rosinenthreads schon mal beantwortet hat. Ich war zu faul zum suchen.

Da ist die Frage ist beantwortet, dass in allen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Brötchen mindestens eine Rosine ist, und zwar geschieht das dort über die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... in Brötchen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist keine Rosine

für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,m \end{eqnarray*}$ und dann die Berechnung des gesuchten $\begin{eqnarray*} P((A_1\cup \ldots A_m)^c) \end{eqnarray*}$ via Siebformel.

Die naheliegende Übertragung etwa auf

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... in Brötchen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sind höchstens 2 Rosinen

ist nur auf den ersten Blick eine gute Idee - die Berechnung der Durchschnittswahrscheinlichkeiten ist der reinste Horror, im Gegensatz zum einfacheren Problem oben. geschockt

geschockt

Sicher kann ich nur sagen, dass die Wahrscheinlichkeit bei weniger als $\begin{eqnarray*} 3m \end{eqnarray*}$ Rosinen gleich Null ist. Big Laugh

Big Laugh

30.09.2009, 19:24

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

*Kleinlaut nachfrag*
Ist meine Vermutung nun wahr? Den Grund für den Weg über unterscheidbare Rosinen habe ich jetzt hoffentlich durchdrungen. Denke ich zumindest verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Bakatan:
Meine Vermutung ist eben, was wegen meiner komischen Schreibweise nicht ganz rüber gekommen ist:
Ich werfe alle unterschiedlichen Reihenfolgen, die zum selben Ergebnis führen, zusammen. Dadurch wäre dann sofort nicht jede Möglichkeit gleich wahrscheinlich, da es für A eben nur eine Reihenfolge gibt, für B jedoch eben 50!.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Rosinen pro Brötchen geht für hohe Rosinenzahlen relativ nahe an Huggy's Ergebnis hoch 50. Bloß leider, wie bemerkt wurde eben nicht genau ( bzw erst bei unendlich Rosinen eben... )
Das spuckte zumindest mein Programm mit dem cmath Zufallszahlengenerator aus, soweit man dem vertrauen kann, dass es einigermaßen Zufallszahlen sind

30.09.2009, 19:28

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sagst du mal ganz konkret, wie du rechnen willst. Nein, nicht nur sagen: Rechnen, und die Rechnung erklären - ich bin des Nachfragens müde.

30.09.2009, 20:11

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich scheitere gerade an dem Problem mich auszudrücken. Bis jetzt war dieser Thread bereits sehr hilfreich, von daher bedanke ich mich für die vorherigen Erklärungen und Links. Denn das hier könnte gut nochmal total schief gehen und komplett unverständlich sein. Aber eine Chance besteht ja immer...

Ich möchte eben leider nicht wirklich eine Rechnung anstellen, sondern "lediglich" verstehen, welche Fälle ich in meinem Modell zusammengefasst habe.
Genau wie in dem verlinkten Würfelproblem eben 4+4+4 in beiden Versionen nur ein Fall für 12 ergab, 4+3+5 jedoch in dem Laplaceraum sechs verschiedene und in der Originalaufzählung nur eine. Es wurde aber fehlerhafter Weise nur als einer gewertet und trotzdem $\begin{eqnarray*} \frac{\text{Möglichkeiten Augensumme 12 zu erhalten}}{\text{Gesamte Möglichkeiten}} \end{eqnarray*}$ verwendet.
Auf die gleiche Art und Weise habe ich in meinem Modell ja scheinbar Fälle, die im Laplaceraum eben mehrere sind, zusammen geworfen.
Meine Vermutung welche diese Fälle sind habe ich bereits versucht zu formulieren. Ich denke eben, dass viele Möglichkeiten von $\begin{eqnarray*} \binom{N+k-1}{N} \end{eqnarray*}$ durch verschiedene Reihenfolgen des Werfens in Urnen erreicht werden können. Dementsprechend fehlt mir für einen Laplaceraum eben die Aufteilung jener Fälle.

PS: Vielleicht würde mich ein Seminar in "Wie artikuliere ich mich" weiter bringen... Ich weiss auch nicht...
Danke nochmals, wenn es nicht verständlich ist, dann hilft es wohl wenig, wenn ich es erneut Versuche - meine Formulierung wird wohl immer so wirr sein.

01.10.2009, 09:51

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Es hilft vielleicht, sich einen Überblick über die beiden relevanten Wahrscheinlichkeitsräume zu bilden. Ich entschuldige mich schon mal vorab für die im folgenden sehr "technisch" gehaltenen Ausführungen, die sicher besser ins Hochschulforum passen würden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

---------------------------------------------------------

Damit alles beisammen ist, nochmal die Situation:

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Rosinen werden gleichmäßig und unabhängig voneinander auf $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ unterscheidbare Brötchen verteilt.

1.Variante: Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Rosinen sind unterscheidbar.

Eine konkrete Aufteilung $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wird vollständig beschrieben, indem man zu jeder Rosine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ das Brötchen nennt, wo sie landet, das sei $\begin{eqnarray*} \omega_k \end{eqnarray*}$ . Das ergibt den W-Raum

$\begin{eqnarray*} \Omega_1 := \left\{ \omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n) \bigm| \omega_k \in\{1,2,\ldots,m\} \;\mbox{für}\; k=1,\ldots,n \right\} \end{eqnarray*}$

Jede dieser $\begin{eqnarray*} |\Omega_1| = m^n \end{eqnarray*}$ Aufteilungen ist wegen der Unabhängigkeit sowie Gleichmäßigkeit der Zuordnungen der einzelnen Rosinen gleichwahrscheinlich, d.h., es liegt ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum vor. Es ist also $\begin{eqnarray*} P_1(\{\omega\}) = \frac{1}{|\Omega_1|} = \frac{1}{m^n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ .

2.Variante: Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Rosinen sind nicht unterscheidbar.

Hier wird eine Aufteilung dadurch beschrieben, dass man zu jedem Brötchen $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ die Anzahl der darin befindlichen Rosinen angibt, das sei $\begin{eqnarray*} \upsilon_j \end{eqnarray*}$ . Das ergibt den W-Raum

$\begin{eqnarray*} \Omega_2 := \left\{ \upsilon = (\upsilon_1,\ldots,\upsilon_m) \bigm| \upsilon_j \in \mathbb{N}_0 \;\mbox{für}\; j=1,\ldots,m \;\mbox{und}\; \upsilon_1+\cdots+\upsilon_m = n \right\} \end{eqnarray*}$

Hier ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} |\Omega_2| = \binom{m+n-1}{n} \end{eqnarray*}$ , aber die einzelnen $\begin{eqnarray*} \upsilon \end{eqnarray*}$ sind nicht gleichwahrscheinlich - kommen wir deshalb zur konkreten Bestimmung des W-Maßes $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ :

Es gibt eine klare Zuordnung, die jedem $\begin{eqnarray*} \omega\in \Omega_1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \upsilon\in \Omega_2 \end{eqnarray*}$ zuordnet, und zwar

$\begin{eqnarray*} \omega = (\omega_1,\ldots,\omega_n) \mapsto \upsilon = (\upsilon_1,\ldots,\upsilon_m) \quad\mbox{mit}\quad \upsilon_j = |\{ k:\; \omega_k = j \}| \end{eqnarray*}$ ,

nennen wir diese Abbildung $\begin{eqnarray*} T:\;\Omega_1\to \Omega_2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man sich umgekehrt fragen, wieviel $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ zu einem vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \upsilon \end{eqnarray*}$ gehören, also die Frage nach dem Urbild $\begin{eqnarray*} T^{-1}(\{\upsilon\}) \end{eqnarray*}$ . Die lässt sich mit Permutationen mit Wiederholung vollständig beantworten:

$\begin{eqnarray*} \left| T^{-1}(\{\upsilon\}) \right| = \frac{n!}{\upsilon_1!\cdot \ldots \cdot \upsilon_m!} \end{eqnarray*}$

Was dann auch die Frage nach $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ abschließend beantwortet - es ist

$\begin{eqnarray*} P_2(\{\upsilon\}) = P_1\left( T^{-1}(\{\upsilon\}) \right) = \frac{n!}{m^n\cdot \upsilon_1!\cdot \ldots \cdot \upsilon_m!} \end{eqnarray*}$ .

Der Unterschied zur falschen Laplace-Variante

$\begin{eqnarray*} P_2(\{\upsilon\}) \stackrel{???}{=} \frac{1}{\displaystyle \binom{m+n-1}{n}} \end{eqnarray*}$

sollte offensichtlich sein.

01.10.2009, 13:18

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, danke, danke! Tanzen

Tanzen

Ich denke jetzt hab ichs Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kenne die Schreibweise $\begin{eqnarray*} v_j=|\{k:w_k=j\}| \end{eqnarray*}$ zwar nicht ( bzw nur in ähnlicher Form vom programmieren ), aber interpretiere sie mal als: $\begin{eqnarray*} v_j=\sum_{k=1}^n\delta_{w_kj} \end{eqnarray*}$
( Anzahl Rosinen in Brötchen j = Jede Rosine k für die $\begin{eqnarray*} w_k \end{eqnarray*}$ gleich der Brötchen-nummer j ist )

01.10.2009, 13:34

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist gemeint. Die Schreibweise sollte so ungewöhnlich nicht sein:

Erstmal die Menge aller $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega_k=j \end{eqnarray*}$ , und dann die Kardinalität $\begin{eqnarray*} | \cdot | \end{eqnarray*}$ dieser Menge.

01.10.2009, 13:50

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so rum! Damit ist mir auch die Schreibweise klar.
Ich habe zuerst an eine Anlehnung auf die Schreibweise in Java ( bzw, dass sie in Java eben aus der Mathematik kommen würde )

code:
1:	for (int item : numbers) {

gedacht, was hier natürlich total fehl am Platz ist.
Danke nochmal! Wink

Wink

01.10.2009, 14:49

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Julia Jung
...zum Thema Poisson denke ich,dass es zu einer zu großen Abweichung käme..

Du solltest weniger denken und mehr lesen, was hier schon steht...Arthur hat ja schon geschrieben, dass die Abweichung gerade mal 1 (in Worten eine!) Rosine beträgt...Wenn ich das Beispiel mal im Kopf überschlage, braucht man sicher im Schnitt mehr als 4 Rosinen pro Stück, als dann mehr als 200 Rosinen im Ganzen, d.h., dieser relative Fehler ist nichts angesichts der Tatsache, dass wir ohnehin schon eine Reihe von idealisierenden Annahmen haben wie z.B. dass Rosinen nichts wiegen, dass die Durchmischung des Teigs mit Rosinen einer Gleichverteilung nahe kommt etc. etc.

01.10.2009, 14:54

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Wenn ich das Beispiel mal im Kopf überschlage, braucht man sicher im Schnitt mehr als 4 Rosinen pro Stück, als dann mehr als 200 Rosinen im Ganzen

Gut geschätzt - tatsächlich sind es 213 nach Rechnung mit Binomialverteilung, entsprechend dann 214 mit Poissonverteilung.

01.10.2009, 16:18

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

Dein Hinweis auf die Näherung durch Poissonverteilung ist natürlich korrekt. Aber vom Prinzip her habe ich ein Problem mit diesen Näherungsverfahren. Weshalb eine Näherung verwenden, wenn man mit gleichem Aufwand auch die exakte Lösung bekommen kann?

Diese Näherungen hatten ihre Berechtigung in der Zeit der Tabellenwerke. Im Zeitalter des Computers sind sie großenteils obsolet. Ich plädiere stark dafür, dass die Verfasser von Büchern und die Ersteller von Übungsaufgaben das berücksichtigen sollten.

01.10.2009, 16:36

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es nicht ganz so drastisch formulieren - immerhin haben viele Näherungen noch ihre Berechtigung, wenn es um andere Größenordnungen geht bzw. das Problem nur ein Teilproblem in einem viel größeren Kontext ist. Aber grundsätzlich stimme ich dir zu, da gilt es noch einiges in diversen Lehrbüchern zu entstauben:

Zumindest sollte man den Schülern erst erzählen, wie es richtig geht, und nicht von vornherein gleich mit der Näherung anfangen - das ist auch dem Verständnis nicht förderlich.

Berühmtes Beispiel ist $\begin{eqnarray*} B(n,p) \approx \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray*}$ , wo den Schülern erzählt wird, dass $\begin{eqnarray*} np(1-p) \geq 9 \end{eqnarray*}$ die magische Grenze ist, wo man diese Näherung anwenden darf - da habe ich immer wieder Bauchschmerzen, wenn ich das lese. Ein Großteil dieser Aufgabe lässt sich direkt mit $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ lösen, zumindest mit etwas rechentechnischer Unterstützung.

01.10.2009, 16:44

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur

Vollkommen einverstanden!

Ich hatte ja auch geschrieben 'großenteils obsolet'. Es verbleibt ganz klar ein Bereich, in dem trotz der heutigen Computer Näherungsverfahren nützlich oder sogar erforderlich sind.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »