wie komme ich darauf?

30.09.2009, 14:31

Sonnenschein1

<w,z>+<z,w>=2*Re<z,w> wie komme ich darauf?

Hallo,
ich hänge gerade nur bei einem kleinen Rechenschritt.
Es geht ums komplexe Skalarprodukt. Und ich möchte berechnen
$\begin{eqnarray*} <w,z>+<z,w>=<w,z>+\overline{<w,z>} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon überlegt, das ganze mal allgemein anzusetzen:
also $\begin{eqnarray*} <a+bi,c+di>+ <a-bi,c-di> \end{eqnarray*}$

komme aber gerade irgendwie nicht weiter.

Ich müsste auf $\begin{eqnarray*} 2*Re<z,w> \end{eqnarray*}$ kommen.

Also mir ist allgemein klar, dass komplexe Zahl + komplex konjugierte Zahl = 2*Realteil der komplexen Zahl ergibt, da der Imaginärteil einmal mit + und einmal mit - dasteht und der Realteil zweimal mit +
Nur wenn ich versuche das explizit mit dem Skalarprodukt auszurechnen, klappt es noch nicht so.

Ich würde mich über Tipps freuen.

Gruß, Sonnenschein1

30.09.2009, 16:31

Zellerli

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Ich glaube du denkst da zu kompliziert:

Du sollst zeigen $\begin{eqnarray*} <w,z>+<z,w>=2 \cdot Re{<z,w>} \end{eqnarray*}$ (Puh schaut das gruselig aus, hab in LaTeX echt keine Formeln für komplexe Zahlen drauf...) und hast doch schon den wichtigsten Schritt getan:

Du hast verwendet, dass das Skalarprodukt hermetisch ist und die Faktoren im einen Produkt vertauscht und es konjugiert gemacht.

Du kannst doch fordern, dass dein Skalarprodukt gemäß der Definition ( $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sei ein komplexer Vektorraum) $\begin{eqnarray*} <.,.> : V \times V \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine komplexe Zahl auspuckt. Die kannst du dann allgemein ansetzen.

Du kannst allerdings auch "durchrechnen", da kommst du auch hin (setze möglichst allgemein mit dem Summenzeichen und so an) wo genau ist denn dein Problem dabei?

01.10.2009, 12:56

Sonnenschein1

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Vielen Dank für deine Tipps.

Also wenn ich allgemein ansetze, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~w_kz_k +\sum_{k=1}^n~\overline{w_kz_k} \end{eqnarray*}$

Aber ich habe schon Probleme es explizit bei zwei Summanden auszurechnen:

Dann hätte ich ja $\begin{eqnarray*} w_1z_1 + w_2 z_2+\overline {w_1 z_1} + \overline{w_2z_2} \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich allgemein:
$\begin{eqnarray*} (a_1+b_1i)*(c_1+d_1i)+(a_2+b_2i)*(c_2+d_2i) +(a_1-b_1i)*(c_1-d_1i)+(a_2-b_2i)*(c_2-d_2i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a_1 c_1-b_1d_1+i(a_1d_1+b_1c_1)+a_2 c_2-b_2d_2+i(a_2d_2+b_2c_2)+(a_1c_1+b_1d_1)-i(a_1d_1+b_1c_1)+(a_2c_2+b_2d_2)-i(a_2d_2+b_2c_2) \end{eqnarray*}$

jetzt kürzt sich $\begin{eqnarray*} i(a_1d_1+b_1c_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i(a_2d_2+b_2c_2) \end{eqnarray*}$ raus, und übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} = a_1 c_1-b_1d_1+a_2 c_2-b_2d_2+(a_1c_1+b_1d_1)+(a_2c_2+b_2d_2) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich sogar noch $\begin{eqnarray*} b_1d_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2d_2 \end{eqnarray*}$ rauskürzen und übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} = a_1 c_1+a_2 c_2+a_1c_1+a_2c_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*(a_1 c_1+a_2 c_2) \end{eqnarray*}$

Das sieht jetzt eigentlich schon ganz gut aus. Aber ist $\begin{eqnarray*} (a_1 c_1+a_2 c_2)= Re<z,w> \end{eqnarray*}$ ?

Und kann ich $\begin{eqnarray*} Re<z,w> \end{eqnarray*}$ auch explizit berechen. Denn wenn ich dann auch auf $\begin{eqnarray*} (a_1 c_1+a_2 c_2) \end{eqnarray*}$ komme, würde die Sache ja stimmen.

Mir ist es noch irgendwie suspekt den Realteil eines Skalarproduktes zu berechnen, weil ich nicht genau weiß, wie ich das machen kann.

01.10.2009, 13:57

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Zitat:

Original von Zellerli
$\begin{eqnarray*} <w,z>+<z,w>=2 \cdot Re{<z,w>} \end{eqnarray*}$ (Puh schaut das gruselig aus

Es schaut schon etwas weniger gruslig aus, wenn man $\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} <w,z> \end{eqnarray*}$ verwendet - zumindest ist die Verwechslungsgefahr mit irgendwelchen Relationszeichen geringer. Augenzwinkern

01.10.2009, 14:11

Zellerli

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Ah, danke Arthur_Dent Gott

Jetzt muss ich erstmal fragen: Wie ist denn das Skalarprodukt im Komplexen definiert?
Nach der Definition, die du lieferst, wäre es symmetrisch (also $\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle = \langle z,w \rangle \end{eqnarray*}$ ). Es soll aber hermetisch sein.

Ich meine, es so zu kennen ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Dimensionen): $\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle = \sum_{k=1}^n ~ w_k\overline{z_k} \end{eqnarray*}$ .

Man kann auch w konjugieren und z in Ruhe lassen. Aber beides konjugieren, bzw. beides unberührt lassen, macht es nicht hermetisch.

Naja und dann rechne nochmal durch, bzw. du kannst auch Rechenregeln bzgl. Konjugation benutzen (was kommt beispielsweise bei einer doppelten Konjugation heraus) und kommst damit schon weit genug.

Aber zuletzt nochmal den anderen Schritt, der meiner Meinung nach schneller geht und den du auch einschlagen wolltest:

Du kannst fordern: $\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle :=c \quad , \quad c \in \mathbb{C}\Rightarrow c=a+bi \end{eqnarray*}$ . Die Konjugation davon hast du sofort...

01.10.2009, 15:42

Sonnenschein1

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ah, ich glaube jetzt ists mir klar...

Nein, das Skalarprodukt ist im Komplexen nicht symmetrisch. Allgemein gilt im Komplexen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~w_k\overline{z_k} =\langle w,z \rangle \end{eqnarray*}$

Das hatte ich vorher nicht berücksichtigt.

Jetzt klappts auch mit dem Ausrechnen
Ich berechne ja $\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle*\overline{\langle w,z \rangle} \end{eqnarray*}$

Und es gilt
$\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle= w_1\overline{z_1}+...+ w_n \overline{z_n} \end{eqnarray*}$
Sowie
$\begin{eqnarray*} \overline{\langle w,z \rangle}= \overline{w_1}z_1+...+ \overline{w_n}z_n \end{eqnarray*}$

Und wenn ich die beiden jetzt addiere, fallen alle Imaginarteile gerade raus. Da sich beim komplexen Konjugat ja das Vorzeichen des Imaginärteils ändert. Doppelt komplex konjugiert entspricht dann gar nicht komplex konjugiert, da die beiden Minus sich rausheben.

Dann ist noch wichtig, dass der Realteil komplex konjugiert = dem Realteil nicht komplex konjugiert ist. Es ändert sich ja nur das Vorzeichen des Imaginärteils was auf den Realteil keine Auswirkung hat.

Dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \langle w,z \rangle+\overline{\langle w,z \rangle}= w_1+\overline{w_1} +\cdots +w_n + \overline{w_n}= w_1+ w_1+ \cdots + w_n + w_n= 2*Re(z) \end{eqnarray*}$

müsste jetzt stimmen, oder?

01.10.2009, 17:55

Zellerli

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Jo, passt. Freude

Du kannst zur Veranschaulichung ja exemplarisch die beiden Päärchen $\begin{eqnarray*} w_1\overline{z_1} + \overline{w_1}z_1 \end{eqnarray*}$ allgemein ansetzen und das "wegheben" zeigen.

01.10.2009, 17:58

Duedi

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will nicht Korinthen kacken, aber es heißt "hermitesch" statt "hermetisch" Augenzwinkern

01.10.2009, 18:16

Sonnenschein1

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ok, klappt smile

Dankeschön

01.10.2009, 18:47

Zellerli

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Duedi:

Zitat:

will nicht Korinthen kacken, aber es heißt "hermitesch" statt "hermetisch" Augenzwinkern

Danke. Das weiß ich aber mittlerweile... Du bist nicht der einzige Korinthenkacker chrchrchr (nicht böse gemeint, Arthur Big Laugh

)

Hab das echt all die Jahre falsch geschrieben und einfach missverstanden. Das war nichtmal ein Tippfehler, sondern ein systematisch falsch gemerktes Wort.

02.10.2009, 15:29

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Zitat:

Original von Zellerli
Du bist nicht der einzige Korinthenkacker chrchrchr (nicht böse gemeint, Arthur Big Laugh

)

Nein, ich nehm's dir nicht übel. Immerhin beeindruckend, wie du zu dem Fehler stehst, und ihn nicht nach meinem PN-Hinweis per Edit korrigiert hast. Augenzwinkern

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<w,z>+<z,w>=2*Re<z,w> wie komme ich darauf?

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