Grenzwert mit cos..

25.09.2006, 13:23

teamkilla

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Grenzwert mit cos..

Hi Jungs & Maedels..

Ich soll herausfinden, ob es fuer folgenden Gleichung einen Grenzwert gibt, und wenn ja, wie dieser lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(1-cos^2x)}{(1-cos4x)} \end{eqnarray*}$

hab dann mal rausgesucht, dass $\begin{eqnarray*} cos^2(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(2x) \end{eqnarray*}$ ist.. womit ich nun folgende Gleichung erhalte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(1-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(2x))}{(1-cos4x)} \end{eqnarray*}$

nun weiss ich allerdings nicht weiter.. kann mir jemand helfen?

traurig

traurig

25.09.2006, 13:33

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit cos..
Wende auf cos(4x) das Additionstheorem cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2*cos²(x) - 1 an.

25.09.2006, 13:50

teamkilla

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hmm und dann? sorry ich steh grad aufm schlauch

25.09.2006, 13:55

klarsoweit

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Dann kannst du das cos(4x) im Nenner ersetzen und erhältst dann im Zähler und Nenner Terme mit cos². Dann kannst du was kürzen.

EDIT: es stellt sich natürlich auch die Frage, in welchem mathematischen Zusammenhang diese Aufgabe gestellt wird. Wenn es um Ableitung geht, könnte man sich auch folgenden Ansatz vorstellen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(2x) - 1}{cos(4x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{cos(2x) - cos(2*0)}{x-0} \cdot \frac{x-0}{cos(4x) - cos(4*0)} \end{eqnarray*}$

Für jeden Bruch solltest du mal an den Differenzenquotienten und an die Definition der Ableitung denken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2006, 14:33

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@klarsoweit

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(2x) - cos(2*0)}{x-0} \cdot \frac{x-0}{cos(4x) - cos(4*0)} \end{eqnarray*}$ läuft aber im Grenzwert bei dieser Trennung auf sowas wie $\begin{eqnarray*} 0\cdot\infty \end{eqnarray*}$ hinaus...

Mit der Modifikation $\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos(2x)}{2x^2} \cdot \frac{2x^2}{1-\cos(4x)} = \left[ \frac{\sin(x)}{x} \right]^2 \cdot \left[ \frac{x}{\sin(2x)} \right]^2 \end{eqnarray*}$ geht's aber "so ähnlich". Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2006, 14:42

klarsoweit

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Ach verflixt. Hammer

Hammer

Man braucht ja zweimal l'Hospital. Dann geht mein Vorschlag natürlich so nicht. Danke für den Hinweis.

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25.09.2006, 16:37

teamkilla

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hey.. es geht darum, den grenzwert zu finden..

25.09.2006, 16:42

teamkilla

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also ich hab das jetzt mal mit dem additionstheorem rausgesucht und erhalte fuer

cos4x = 8 cos^4x - 8cos^2x +1

ich sehe aber nicht, wo mir das was bringt.. kann mir jemand einen, oder besser zwei schritte nach dem meinigen aufzeichnen? danke

25.09.2006, 18:05

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Zitat:

Original von teamkilla
hey.. es geht darum, den grenzwert zu finden..

Hat jemand was anderes behauptet? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos(2x)}{2x^2} \cdot \frac{2x^2}{1-\cos(4x)} = \left[ \frac{\sin(x)}{x} \right]^2 \cdot \left[ \frac{x}{\sin(2x)} \right]^2 \end{eqnarray*}$

sowie der Kenntnis des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to 0} ~ \frac{\sin(t)}{t}=1 \end{eqnarray*}$ kommt man nämlich zum Ergebnis, indem man für $\begin{eqnarray*} t=x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t=2x \end{eqnarray*}$ diesen Grenzwert nutzt.

25.09.2006, 18:26

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit cos..

Zitat:

Original von klarsoweit
Wende auf cos(4x) das Additionstheorem cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2*cos²(x) - 1 an.

Das hatte ich gemeint:
$\begin{eqnarray*} cos(4x) = 2 \cdot cos²(2x) - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt setze das mal alles in deinen Term ein.
Den anderen Vorschlag von mir mit den weiteren Ausführungen von Arthur Dent lege erstmal an die Seite.

25.09.2006, 19:40

teamkilla

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also das hab ich jetzt mal gemacht und erhalte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(1-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos(2x))}{(1-(2 cos^2(2x)-1))} \end{eqnarray*}$

und gekuerzt erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{1-(2cos(2x)-1)} \end{eqnarray*}$

stimmt das bis dahin?

und was mach ich nu? Hammer

Hammer

25.09.2006, 20:01

teamkilla

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also ich glaube als grenzwert kommt 1/8 raus.. und irgendwo habe ich mich verrechnet, aber weiss nicht wo.. kann mir jemand helfen?

25.09.2006, 20:04

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Mal langsam mit den jungen Pferden: Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x))}{(1-(2 \cos^2(2x)-1))} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x))}{2-2 \cos^2(2x)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 -\cos(2x)}{1-\cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

So, und wie kann man nun den Nenner geeignet darstellen, wenn man insbesondere auf die Struktur des Zählers schaut?

25.09.2006, 20:10

teamkilla

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bitte sags mir, mir schwirrt der kopf.. also ich denke mal es hat was mit dem kuerzen der beiden cos (2x) , bzw cos(2x)cos(2x) zu tun..

25.09.2006, 20:11

derkoch

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kleiner tip: Binomische formel!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2006, 20:14

teamkilla

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binomische formel auf cos^2(2x)? oh gott.. heeelp plz traurig

traurig

25.09.2006, 20:32

derkoch

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schaue dir insbesondere die 3. binomische formel an! die bringt dich ans ziel!

26.09.2006, 09:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von teamkilla
binomische formel auf cos^2(2x)? oh gott.. heeelp plz traurig

traurig

Es wird eine ewig ungelöste Frage bleiben, warum binomische Formeln so schwierig sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(1 - a²) = (1 - a) * (1 + a)

Und ob da jetzt a steht oder $\begin{eqnarray*} cos^2(2x) \end{eqnarray*}$ , das ist doch Jacke wie Hose.

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