Konvergenz mit Quotientenkriterium

30.09.2009, 23:59

Summenkürzer

Konvergenz mit Quotientenkriterium

Nabend

Gegeben ist mir folgende Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{n}{e^n} \end{eqnarray*}$

Zu dieser soll ich eine Aussage bzgl. Ihrer Konvergenz/Divergenz treffen. Hierzu soll ich das Quotientenkriterium anwenden, was mich zunächst mal zu folgendem Ausdruck bringt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1 \cdot e^n}{e^{n+1} \cdot n} \end{eqnarray*}$

Als korrektes Ergebnis soll am Ende $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ stehen, aber ich verstehe nicht wie ich dahin komme.
Getan habe ich bislang folgendes, wobei mir vor allem der zweite Schritt eigentlich echt die Nackenhaare hochstehen lässt ... das ist doch eine Summe und aus Summen kürzen nur die Dummen?!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n+1 \cdot e^n}{e^{n+1} \cdot n} \end{eqnarray*}$ . . . . . . | $\begin{eqnarray*} e^{n+1} \end{eqnarray*}$ auseinanderziehen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n+1 \cdot e^n}{e^n \cdot e \cdot n} \end{eqnarray*}$ . . . . . . | $\begin{eqnarray*} e^n \end{eqnarray*}$ kürzen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n+1 \cdot 1}{1 \cdot e \cdot n} \end{eqnarray*}$ . . . . . . . | $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kürzen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1 \cdot 1}{1 \cdot e}=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Also, was mache ich da falsch? Oder mache ich etwa alles richtig? Dann erkläre mir doch bitte jemand weshalb ich das (vor allem den zweiten Schritt) so machen kann.

01.10.2009, 00:10

kiste

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Du machst gleich mehrere fatale Fehler!
Zuerst einmal vergisst du elementar wichtige Klammern! Dannach hast du 2mal aus Summen gekürzt!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)e^n}{ne^{n+1}} \end{eqnarray*}$ willst du berechnen, beachte die wichtige Klammer!
Jetzt kannst du e^n kürzen und es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)}{ne} = \frac 1 e \cdot \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)}{n} \end{eqnarray*}$

Den Rest schaffst du hoffentlich.

01.10.2009, 00:44

Duedi

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Zitat:

Original von kiste
Dannach hast du 2mal aus Summen gekürzt!

Siehe den Username des Threaderstellers.
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