1-norm von orthogonaler Matrix

01.10.2009, 08:07	KlausDieter	Auf diesen Beitrag antworten »
1-norm von orthogonaler Matrix Hi, ich versuche gerade folgende Behauptung zu beweisen, komme aber nicht weiter (A invertierbar). Sei $\begin{eqnarray} A = QR \end{eqnarray}$ , mit QR aus der QR-Zerlegung (d.h., Q ist orthogonal und R eine obere Dreiecksmatrix). Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\cdot \|\|A\|\|_1 \|\|A^{-1}\|\|_1 = \frac{1}{n}\cdot \|\|QR\|\|_1 \|\|(QR)^{-1}\|\|_1 \leq \|\|R\|\|_1 \|\|R^{-1}\|\|_1 \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war soweit: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\cdot \|\|QR\|\|_1 \|\|(QR)^{-1}\|\|_1 \leq \frac{1}{n}\cdot \|\|R\|\|_1 \|\|R^{-1}\|\|_1 \|\|Q\|\|_1 \|\|Q^{-1}\|\|_1 \end{eqnarray}$ , unter der Verwendung der Submultiplikativität der Matrix-Norm. Meine Idee war nun, dass $\begin{eqnarray} \|\|Q\|\|_1 \|\|Q^{-1}\|\|_1 \leq n \end{eqnarray}$ gilt, welches ich auch experimentell (Matlab mit ein paar Beispielen) bestätigen konnte (meine Annahme geht sogar dahin, dass $\begin{eqnarray} \|\|Q\|\|_1 \leq \sqrt{n} \end{eqnarray}$ gilt) . Aber wie Zeige ich, dass die 1-norm von Q kleiner gleich $\begin{eqnarray} \sqrt{n} \end{eqnarray}$ ist?
01.10.2009, 08:59	KlausDieter	Auf diesen Beitrag antworten »
Arg, natürlich... Für jede Spalte v der Matrix gilt: \|\|v\|\|_2 = 1 Da bekannt ist, dass $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|_1 \leq \sqrt{n}\|\|v\|\|_2 = \sqrt{n} \end{eqnarray}$ folgt schon die Behauptung. Nun stutze ich aber an der Ungleichung: $\begin{eqnarray} \|\|R\|\|_1 \|\|R^{-1}\|\|_1 \leq n \|\|QR\|\|_1 \|\|(QR)^{-1}\|\|_1 \end{eqnarray}$
01.10.2009, 09:10	KlausDieter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, so das ist auch gelöst. Man füge in \|\|R\|\|_1 einfach ein \|\|Q^{-1}QR\|\|_1 ein und das selbe für das inverse von R und man nutzt wieder die Submultiplikativität. Grüße Klaus
01.10.2009, 12:49	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Klaus, Sieht gut aus. Danke fürs Aufschreiben des Lösungswegs. Gruß, Reksilat.

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