Rand der rationalen Zahlen= Rand der irrationalen Zahlen= reelle Zahlen

01.10.2009, 13:08

Sonnenschein1

Rand der rationalen Zahlen= Rand der irrationalen Zahlen= reelle Zahlen

Hallo,
ich habe noch ein wenig Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:

Der Rand der rationalen Zahlen= dem Rand der irrationalen Zahlen = reelle Zahlen.

Und zwar habe ich Probleme mit das anschaulich vorzustellen. Ich weiß, dass man zwischen zwei rationale Zahlen immer noch eine reelle Zahl finden kann. Also wohl auch 2. Und zwischen zwei reellen Zahlen findet man immer noch eine reelle Zahl. Man kann ja einfach das arithemetische Mittel bilden.

Also schließe ich daraus, dass man zwischen zwei rationalen Zahlen stets unendlich viele reelle Zahlen finden kann.

Zudem ergeben die rationalen Zahlen zusammen mit den irrationalen Zahlen die reellen Zahlen.

Also müssen diese unendlich vielen reellen Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen alle irrationale Zahlen sein.

Zudem weiß ich, dass der Rand die Punkte einer Menge sind, die sich weder im Inneren der Menge noch im Äußeren befinden. Oder man kann auch sagen, die Punkte deren Epsilon-Umgebung sowohl innere Punkte als auch äußere Punkte enthalten sind Randpunkte.

Aber wie habe ich mir hier den Rand vorzustellen?

Es gilt doch

Inneres vereinigt mit Rand vereinigt mir Äußerem = gesamte Menge. Und diese Vereinigung ist diskunkt!

Denn jede Zahl ist ja entweder eine rationale oder eine irrationale Zahl. Und somit gibt es keine Zahlen, die zu keine der beiden gehört. Das ist aber doch gerade die Definition für den Rand...

Ich hoffe ihr könnt mein Problem nachvollziehen und freue mich über Antworten.

01.10.2009, 13:15

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Zitat:

Original von Sonnenschein1
Also müssen diese unendlich vielen reellen Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen alle irrationale Zahlen sein.

Nein - auch zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen befinden sich unendlich viele rationale Zahlen.

Zum Problem inneres/äußeres/Rand: Sowohl für die Menge der rationalen Zahlen, also auch für die Menge der irrationalen Zahlen ist das Innere und auch Äußere jeweils leer, und der Rand der "Rest", also alle reellen Zahlen. Das wirst du einfach verdauen müssen. Augenzwinkern

01.10.2009, 13:59

Sonnenschein1

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Vielen Dank für deine Antwort smile

Zitat:

Zum Problem inneres/äußeres/Rand: Sowohl für die Menge der rationalen Zahlen, also auch für die Menge der irrationalen Zahlen ist das Innere und auch Äußere jeweils leer, und der Rand der "Rest", also alle reellen Zahlen. Das wirst du einfach verdauen müssen.

Das hört sich sehr einleuchtend an. Das Innere und Äußere sind also jeweils leer. Ich nehme einmal an, das hängt stark damit zusammen:

Zitat:

Nein - auch zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen befinden sich unendlich viele rationale Zahlen.

Das heißt, dass ich zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele rationale und auch unendlich viele irrationale Zahlen finden kann. Und wenn ich dann wieder zwei Zahlen nehme (von denen ich denke, dass sie direkt nebeneinander liegen) kann ich wieder dasselbe machen. Und so kann ich immer weiter fortfahren.

Das heißt das Innere ist immer leer, denn sobald ich meine z.B. zwei irrationale Zahlen nebeneinander gefunden zu haben(sodass ich ein Inneres erhalten würde), gibt es doch wieder unendlich viele rationale dazwischen.

Habe ich das richtig verstanden?

01.10.2009, 14:00

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Ganz genau so ist es. Freude

01.10.2009, 15:24

Sonnenschein1

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Super. Dann hab ichs verstanden smile

Danke für deine Hilfe.

18.02.2014, 22:13

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Ich kann mir das nicht ganz vorstellen dass das innere der rationalen und irrationalen zahlen leer sein soll.
Die rationalen und irrationalen zahlen sind jeweils offene mengen
Das bedeutet falls bsp A offen gilt:
Innere(A) = A
Das würde der these ja widersprechen

(Dass die beiden mengen offen sind begründe ich damit, dass ich um jeden Punkt in ihnen eine Kugel legen kann die beliegig klein sein kann und vollständig in der menge liegt und immer einen weiteren punkt enthält als den um den die kugel gezogen wurde.)

Die irrationalen sowie die rationalen zahlen liegen dicht in den reelen zahlen
Wenn bspw A dicht in X liegt gilt:
Abschluss(A)=X

Falls ich was falsxh verstanden habe helft mir bitte weiter
Aber ich würde jetzt schlussfolgern, dass Sie ggf die Aufgabe falsch gelesen haben
Weil Symbole verwirren können und nur schall und rauch sind

Ich vermute die Aufgabe lautete
Abschluss(I) = Abschluss(Q) = R

Das liegt einfach gesagt daran, dass I und Q dicht in R liegen

Anschaulich gesprochen ist das sehr schön und interessant,denn
In den irrationalen zahlen ist der Rand die rationalen
Und bei den rationalen ist der Rand die menge der irrationalen zahlen.

Ja Mathemathik kann auch sexy sein