Gibt es Mengen (außer M und der leeren Menge) die sowohl offen als auch abgeschlossen sind?

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Sonnenschein1 Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es Mengen (außer M und der leeren Menge) die sowohl offen als auch abgeschlossen sind?
Hallo,

Mich würde interessieren, ob es Mengen gibt, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Ich weiß von der Menge M die den gesamten Raum bezeichnet, dass sie sowohl offen (alle Punkte sind innere Punkte) als auch abgeschlossen (denn jeder Rand den es geben könnte, der aber leer ist, als Teilmenge zu M gehört, da M ja alles ist)ist.

Dann muss aber auch das Komplement von M - also die leere Menge - sowohl offen als auch abgeschlossen sein.

Gibt es denn auch noch andere Mengen, die diese Bedingung erfüllen? Oder sind das die einzigen beiden?

Gruß,
Sonnenschein1
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere auf M die diskrete Topologie (induziert von der diskreten Metrik).

Dann sind alle Teilmengen von M offen und damit auch alle Teilmengen abgeschlossen.

aber z.b. auf mit dem Betrag als Metrik erfüllen in der Tat nur ganz R und die leere Menge deine Bedingung.

Beweis:

Sei offen und nichtleer.

Zu definieren wir

Dieses Supremum existiert (wegen ) und ist größer 0 (da M offen ist).

Nun kann man zeigen:
Entweder x-S oder x+S liegt nicht in M. Gilt dies z.b. für x+S, so ist x+S folglich kein innerer Punkt von , also ist M nicht abgeschlossen.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

hier ist auch nochmein ein netter Text dazu.

http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_offene_Menge

mfg.
Sonnenschein1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Beispiele.

Das mit der diskreten Topologie finde ich sehr interessant, habe aber noch ein paar Fragen dazu.

Wenn die Punkte also alles isolierte Punkte sind, dann ist X nicht offen, da kein Inneres existiert. Und es existiert kein Inneres, da von keinem Punkt auch seine Epsilon-Umgebung in der Menge ist.

Aber warum ist X nicht abgeschlossen?
Die Definition für Abgeschlossen ist ja, dass der Rand eine Teilmenge von X ist.
Kann es sein, dass es damit zusammenhängt? Es existiert ja kein Rand, da für keinen Punkt x_0 sowohl ein Teil des Inneren als auch des Äußeren in seiner Epsilon-Umgebung liegt?
Und wenn kein Rand existiert, muss die Menge offen und abgeschlossen sein.

Habe ich das richtig verstanden?

Dann noch zu deinem Beweis.
Ich habe das so verstanden, dass du eine offene nichtleere Menge als Teilmenge der reellen Zahlen wählst. Dann existiert das Supremum, weil die Menge dann durch das Supremum nach oben beschränkt ist und die Menge der oberen Schranken nicht leer ist.

Nun wählst du irgendeinen Punkt x und sagst, wenn ich zu x diese kleinste obere Schranke S dazuaddiere oder abziehe, dann lande ich außerhalb von M.

Jetzt das was ich noch nicht verstehe:
Müsste man für x-S nicht das Infimum wählen?
und wofür benötigst du das (x-h,x+h) in deiner Definition ?

Zitat:
Dieses Supremum existiert (wegen ) und ist größer 0 (da M offen ist).


Warum ist das Supremum größer als 0? Wir könnten uns doch auch auf der negativen Halbachse befinden, oder? Wenn wir das offene Intervall ]-5,-3[ betrachten, ist das Supremum doch -3 und das ist negativ...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sonnenschein1
Dann noch zu deinem Beweis.
Ich habe das so verstanden, dass du eine offene nichtleere Menge als Teilmenge der reellen Zahlen wählst. Dann existiert das Supremum, weil die Menge dann durch das Supremum nach oben beschränkt ist und die Menge der oberen Schranken nicht leer ist.


Dann hast du den Beweis offensichtlich nicht verstanden Augenzwinkern

Ich muss jetzt leider weg, ich kann dir das morgen früh nochmal genauer erklären, wenn du willst.
Sonnenschein1 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das kann gut sein, dass ich was falsch verstanden habe. Ich konnte den Beweis ja auch nicht ganz nachvollziehen und hatte deshalb einige Fragen smile
Aber ich würde mich freuen, wenn du mir das morgen nochmals genauer erklären würdest.
Dann noch viel Spaß heut Abend.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Ich habe M so gewählt, dass und gilt. Die Behauptung war ja, dass M dann nicht offen und abgeschlossen sein kann.

Dazu nehme ich an, dass M offen ist und zeige dann dass M nicht abgeschlossen ist. Das mache ich indem ich einen Punkt aus konstruiere, der kein innerer Punkt von ist, also nicht offen ist.

Die Konstruktion sieht wie folgt aus:

Erstmal: Das Supremum, dass ich da definiere, hat nichts mit zu tun. Dieses Supremum existiert nicht notwendigerweise, denn es könnte ja z.b. auch oder so sein. Offensichtlich wäre M dann unbeschränkt.

Viel mehr suche ich mir irgendeinen Punkt x aus M aus.
Dann spanne ich sozusagen ein Intervall symmetrische über x auf, sprich ich betrachte das Intervall (allgemein nennt man sowas h-Umgebung, bzw. -Umgebung). Wegen der Offenheit gibt es solch ein Intervall, dass ganz in M liegt. Mir geht es jetzt aber gar nicht um die Existenz, sondern darum wie groß dieses Intervall sein kann, ohne, dass "es M verlässt". Also ich vergrößere h solange, bis ich auf ein Punkt aus stoße.
Mathematisch gesehen definiere ich als das Supremum:



Dieses Supremum existiert. Denn es gibt ein . Dann ist eine obere Schranke von .
Und wegen der Offenheit ist es nicht 0, wie oben schon erklärt.

So. Rein anschaulisch gesehen können jetzt nicht x-s und x+s in M liegen.
Das kann man so formal beweisen.
Angenommen dem wäre so.
Wegen der Offenheit von M, gibt es dann ein , sodass
und in M liegen.

Dann ist aber offensichtlich , also ist s gar keine obere Schranke von . Widerspruch.

Also können wir o.B.d.A annehmen, dass x+s nicht in M liegt. Also .

Und genau das ist unser Punkt in , der kein innerer Punkt ist.
Denn wäre er einer, so gäbe es ein , sodass
gilt.

Dann ist aber , also eine obere Schranke von , also s gar nicht die kleinste obere Schranke. Widerspruch!

Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Sonnenschein1 Auf diesen Beitrag antworten »

oii, dankeschön smile ich werd den Beweis jetzt erst noch n paar Mal durchlesen und verdauen. Wenn dann immer noch was unklar ist, meld ich mich nochmals.
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