Termvereinfachung v. Potenzen/Fallunterscheidung

01.10.2009, 20:46

Tawnos

Termvereinfachung v. Potenzen/Fallunterscheidung

Hallo ^^

Ich übe zur Zeit ein wenig Mathematik, vorallem Grundwissen und bin da bei den Potenzen auf 2 Aufgaben gestoßen, die ich nicht wirklich hinbekomme.

Die Aufgabenstellung lautete nur vereinfachen, mit dem Tipp, dass man eine Fallunterscheidung machen soll.
Aufgabe 1 wäre diese hier.

$\begin{eqnarray*} (a - b)^n + (b - a)^n \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass ich keinen wirklichen Ansatz habe, Potenzgesetze kann ich ja nun nicht anwenden, weil es sich um eine Addition handelt.
Aufgefallen ist mir aber, dass einer der beiden Terme in den Klammern immer negativ werden wird solange a ungleich b sind und damit bei einem
$\begin{eqnarray*} n = 2x + 1 \end{eqnarray*}$
immer 0 als Ergebnis der Gleichung herauskommen wird.

Aber ist das des Rätsels Lösung der verienfachung dieses ganzen Terms?
Und wie mache ich die Fallunterscheidung?

Aufgabe 2 bereitet mir noch mehr Sorgen

$\begin{eqnarray*} (x - 2)^n + (2x - 4)^n - (2 - x)^n \end{eqnarray*}$

denn da habe ich nicht den leisesten Schimmer was ich damit anfangen soll, obwohl ich ja nun vermute, dass es auf einen ähnlichen Fall wie bei Aufgabe 1 hinauslaufen wird.

lg

01.10.2009, 20:49

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Termvereinfachung v. Potenzen/Fallunterscheidung
Mit Fallunterscheidung wird gemeint sein, ob n gerade oder ungerade ist. Überlege welchen Unterschied es machen würde.

01.10.2009, 20:52

Kopfrechner

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Termvereinfachung v. Potenzen/Fallunterscheidung
$\begin{eqnarray*} (a - b)^n + (b - a)^n \end{eqnarray*}$

Betrachte mal den konkreten Fall n=2, also $\begin{eqnarray*} (a - b)^2 + (b - a)^2 \end{eqnarray*}$ , und überlege, ob und wie sich die Terme unterscheiden.

Und dann das gleiche für den Fall n=3: $\begin{eqnarray*} (a - b)^3 + (b - a)^3 \end{eqnarray*}$

Ein Tipp noch: Manchmal kommt man weiter, wenn man (-1) ausklammert...

Gruß, Kopfrechner

01.10.2009, 21:11

Tawnos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ja, ich habs jetzt mal ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2 + (b-a)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^2 - 2ab + b^2 +b^2 - 2ab + a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2a^2 - 4ab + 2b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2(a^2 - 2ab + b^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - b)^3 + (b - a)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^3 - 2a^2b +ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 + b^3 -2ab^2 + a^2b - ab^2 + 2a^2b - a^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Und damit habe ich nun bestätigt was ich im Anfangspost schon vermutet habe.
Wenn $\begin{eqnarray*} n = 2x + 1 \end{eqnarray*}$ , dann kommt 0 raus, ansonsten verhält es sich normal.

Und um die Aufgabe jetzt noch richtig zu lösen müsste ich es doch noch allgemein, also mit Variablen nachweisen, oder täusche ich mich da.
Kann ich das dann einfach mit $\begin{eqnarray*} n = 2x + 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = 2x \end{eqnarray*}$ machen?

Und was ich grundlegend noch nicht daran verstanden habe ist, wie das bitte eine Vereinfacherung sein soll Big Laugh

01.10.2009, 21:24

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig bisher.

Schreibs mal so:
$\begin{eqnarray*} (a-b)^n + (-1)^n(a-b)^n \end{eqnarray*}$

Nun könntest du (a-b)^n ausklammern.

Und (-1)^n hat für gerade und ungerade unterschiedliche Werte, sonst ändert sichs nicht - so kannst du es aufschreiben.

01.10.2009, 21:24

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ausmultiplizieren brauchst du gar nicht. Es ist

$\begin{eqnarray*} (a - b)^n + (b - a)^n = (a-b)^n(1+(-1)^n) \end{eqnarray*}$

Deine Idee war also schon richtig. Falls n ungerade, dann ist der Ausdruck immer 0. Falls n gerade, dann ist der Ausdruck immer $\begin{eqnarray*} 2(a-b)^n \end{eqnarray*}$

E: Zu Langsam...

01.10.2009, 21:48

Tawnos

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, jetzt hats auch Klick gemacht mit dem (-1) rausziehen aus dem Term Big Laugh

Dann erscheint die 2te Aufageb schon in ganz anderem Licht Augenzwinkern

Ich hab mich gleich mal draufgestürzt.

Hier nochmal die Aufgabe im Rohzustand.

$\begin{eqnarray*} (x-2)^n + (2x-4)^n - (2-x)^n \end{eqnarray*}$

Nach erster Umformung komme ich als Zwischenschritt erstmal auf

$\begin{eqnarray*} (x-2)^n+2^n(x-2)^n-(-1)^n(x-2)^n \end{eqnarray*}$

1^egalwas bleibt immer 1, damit ist das ja - (-1) und wenn ich mich nicht täusche +, also:

$\begin{eqnarray*} 2^n(x-2)^n+(x-2)^n+(x-2)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-2)^n(2^n+2) \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich dann für x = 2, dass die Gleichung gleich 0 ist. Für x > 2 wird sie immer positiv und für x < 2 bei ungeradem n negativ und bei geradem n positiv.

Ist das dann soweit alles korrekt oder habe ich was übersehen/vergessen?

01.10.2009, 22:06

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tawnos
1^egalwas bleibt immer 1, damit ist das ja - (-1) und wenn ich mich nicht täusche +, also:

1^egalwas bleibt immer 1, das stimmt und -(-1) = +1, das stimmt auch, jedoch kannst du das bei dieser Aufgaben nicht anwenden!

Denn wie bei der Punkt- vor Strichrechnung gilt hier auch "Potenzieren vor Strichrechnung"

D. h. du müsstest erst die (-1) mit n potenzieren, und dann mit der hinteren Klammer multiplizieren und dann das Vorzeichen vertauschen.

Somit ist

$\begin{eqnarray*} (x-2)^n + 2^n (x-2)^n - (-1)^n(x-2)^n = (x-2)^n(1+2^n-(-1)^n) \end{eqnarray*}$

01.10.2009, 22:11

Tawnos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich habs schon fast geahnt, aber war mir wie gesagt nicht sicher.
Also entscheidet sich, ob es plus oder minus wird erst wenn ein konkretes n feststeht.

Na dann vielen lieben Dank an alle Helfenden ffür die tatkräftige Unterstützung.

Liebe Grüße

Neue Frage »

Antworten »

Termvereinfachung v. Potenzen/Fallunterscheidung

Verwandte Themen