Bildfunktion ableiten

02.10.2009, 10:05	ungueltigername	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildfunktion ableiten Hallo, ich versuche gerade eine Bildfunktion zweimal nach x abzuleiten. Für die "Außenstehenden". Eine Bildfunktion liefert die Intensität I für einen Bildpunkt mit x und y-Koordinate $\begin{eqnarray} I=f(x,y) \end{eqnarray}$ Also keine Funktion im eigentlichen Sinne und diskret (es gibt nur ganze x und y-Schritte). Jetzt bilde ich die erste Ableitung. Ausformuliert heißt das, ich bilde die Differenz zwischen zwei Nachbarpixel: $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx} = \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{(x+\Delta x)-x} \end{eqnarray}$ Hier gilt $\begin{eqnarray} \Delta x=1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx} = f(x+1,y)-f(x,y) \end{eqnarray}$ Dass will ich nun weiter ableiten, also die zweite Ableitung nach x bilden: $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx2} = \delta f(x+1,y)- \delta f(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ haben wir bereits gebildet, d.h. es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx2} = \delta f(x+1,y)- f(x+1,y) + f(x,y) \end{eqnarray}$ Was für mich folgendes wäre: $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx2} = f(x+2,y)-f(x+1,y)- f(x+1,y) + f(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx2} = f(x+2,y)-2 \cdot f(x+1,y)+ f(x,y) \end{eqnarray}$ Die Lösung soll allerdings sein $\begin{eqnarray} \frac{df}{dx2} = f(x+1,y)+f(x-1,y)-2 \cdot f(x,y) \end{eqnarray}$ Wie kommt man auf die Lösung?

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