Kompaktheit anschaulich

02.10.2009, 12:12

smiiile

Kompaktheit anschaulich

Hallo
Ich beschäftige mich gerade mit Kompaktheit. Mein Problem ist, dass ich mir das noch nicht so wirklich vorstellen kann.

Ich weiß:
Eine Teilmenge des Euklidischen Raums $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ heißt (nach Bolzano) kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

So ist beispielsweise das Intervall [0,1] kompakt, da beschränkt und abgeschlossen, das Intervall [0,1[ aber nicht, da zwar beschränkt aber nicht abgeschlossen.

Aber wie kann ich mir Kompaktheit vorstellen?

Nur anhand des Begriffes würde ich mir zuerst vorstellen, dass die Zahlen (wie im Umgangssprachlichen) kompakt also eng beieinander liegen. Das entspricht aber ja schon dem mathematischen Begriff der Vollständigkeit. Also dass man keine "Leerstellen" zwischen beispielsweise den reellen Zahlen finden kann - das kann es also nicht sein.

Ich würde einfach gerne auch verstehen, was ich da genau überprüfe und nicht nur die Bedingungen (also beschränkt und abgeschlossen) zu überprüfen, ohne mir vorstellen zu können, was dabei rauskommt.

Liebe Grüße smiiile

02.10.2009, 12:21

Duedi

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Die Beschränkung auf Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ birgt eben leider eine Vereinfachung, durch die man die eigentliche Definition nicht mehr sieht. Eigentlich heißt Kompaktheit nämlich folgendes (geklaut aus Wikipedia)
Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung $\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{i\in I}U_i\quad\textrm{mit}\quad U_i\in\mathcal{T} \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray*} X=U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\ldots\cup U_{i_n} \text{ mit } i_1,\ldots,i_n\in I \end{eqnarray*}$ besitzt. Es geht also darum, dass die Menge gewissermaßen "endlich überdeckt" werden kann. Sie ist also nicht beliebig ausschweifend, kompakt eben Augenzwinkern

02.10.2009, 13:08

Leopold

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Zitat:

Original von Duedi
Es geht also darum, dass die Menge gewissermaßen "endlich überdeckt" werden kann.

Den Quantoren ist hier höchste Aufmerksamkeit zu schenken. Es geht nicht darum, daß die Menge endlich überdeckt werden kann, sondern daß jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Das ist überhaupt nicht dasselbe (auch nicht bei großzügiger didaktischer Reduktion).

So kann zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , versehen mit der euklidischen Topologie, endlich überdeckt werden:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} = \left( - \infty, 1 \right) \cup \left( -1 , \infty \right) \end{eqnarray*}$

Aber natürlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht kompakt.

02.10.2009, 13:22

smiiile

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ah, also kann man sich das doch etwas mit dem Begriff kompakt vorstellen. Wie wenn ich z.B. einen Koffer kompakt packe, dann ist er auch nicht beliebig ausschweifend.

Aber die Menge [0,1[ kann ich doch auch mit dem gleichen Intervall überdecken, wie [0,1]. Sie ist doch auch nicht unendlich ausschweifend.

Ja, ich weiß, ich bin jetzt wieder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Und da kann ich doch jede endliche Menge überdecken, egal ob abgeschlossen oder nicht.

Hast du mir vielleicht noch ein Beispiel, das nicht im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist und bei dem die Überdeckung dann nicht mehr funktionniert?

Da komme ich nämlich gerade nur auf die natürlichen Zahlen. Die werden ja unendlich groß und somit kann ich sie nicht komplett überdecken. Also sind die natürlichen Zahlen nicht kompakt.

02.10.2009, 13:41

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Zitat:

Original von smiiile
Aber die Menge [0,1[ kann ich doch auch mit dem gleichen Intervall überdecken, wie [0,1].

Nein, das geht am Kern der Definition vorbei - lies nochmal Leopolds Beitrag. Die Menge $\begin{eqnarray*} [0,1[ \end{eqnarray*}$ kannst du z.B. durch

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \left]1-2^{2-k},1-2^{-k}\right[ \qquad (*) \end{eqnarray*}$

überdecken - nun such hier mal eine endliche Überdeckung raus - es wird dir nicht gelingen.

(*) ist aber keine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , taugt da also nicht als Beispiel. Wie auch, denn für die kompakte Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt es eben kein derart konstruiertes Beispiel. Augenzwinkern

02.10.2009, 16:32

Duedi

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Autsch, ich hoffe ich habe nicht zu viel Schaden angerichtet. Forum Kloppe

02.10.2009, 21:52

smiiile

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Oh, ich habe Leopolds Beitrag vor meinem letzten Beitrag noch gar nicht gesehen.

Aber ich bin gerade etwas verwirrt...

Zitat:

Den Quantoren ist hier höchste Aufmerksamkeit zu schenken

Welchen Quantoren denn? Ich kenne nur den Allquantor und den Existenzquantor und die habe ich beide nicht in der Definition gefunden...

Zitat:

Es geht nicht darum, daß die Menge endlich überdeckt werden kann, sondern daß jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Ich sehe hier nur immer noch keinen Unterschied zwischen [0,1] (was ja kompakt ist) und [0,1[ was ja nicht kompakt ist. Ich wähle jetzt einfach mal eine offene Überdeckung ]-1,2[ diese überdeckt ja beide Intervalle. Sie ist aber nicht endlich - da wir uns ja auf den reellen Zahlen befinden, oder?

Oder ist mit Überdeckung gemeint, dass man genau und nur das Intervall überdeckt und nicht mehr?

Zitat:

So kann zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , versehen mit der euklidischen Topologie, endlich überdeckt werden:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} = \left( - \infty, 1 \right) \cup \left( -1 , \infty \right) \end{eqnarray*}$
Aber natürlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht kompakt.

Das war ja gerade das Gegenbeispiel. Und ist es deswegen das Gegenbeispiel, weil $\begin{eqnarray*} \left( - \infty, 1 \right) \end{eqnarray*}$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt, weil es keine endliche Menge ist?

Zitat:

nun such hier mal eine endliche Überdeckung raus - es wird dir nicht gelingen.

Sind die Überdeckungen dann alle unendlich, weil wir uns auf den reellen Zahlen bewegen und da befinden sich ja in jedem Intervall unendlich viele Zahlen?

Tut mir leid, ich habe glaube ich noch nicht so viel davon verstanden.. das kommt mir alles noch sehr schwammig vor...

02.10.2009, 22:39

DGU

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Das "jede offene Überdeckung" in Leopolds Beitrag lässt übersetzen in "alle offenen Überdeckungen" (Allquantor). Für Kompaktheit müssen definitionsgemäß alle offenen Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung besitzen. Die angegebene ÜD (*) ist eine offene ÜB, aber besitzt keine endliche Teil-ÜD. Es existiert also (mind.) eine offene ÜD, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Also haben nicht alle offenen Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung, ergo ist die Menge nicht kompakt.

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