Primfaktorzerlegung, Summe, Produkt

02.10.2009, 15:27

ge88

Primfaktorzerlegung, Summe, Produkt

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge von Primzahlen und $\begin{eqnarray*} \mathcal{N(\mathcal{P})} \end{eqnarray*}$ die Menge aller natuerlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ , in deren Primfaktorzerlegung hoechstens Primzahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ vorkommen (Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sei vorausgesetzt). Man beweise, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n \in \mathcal{N(\mathcal{P})}} \frac{1}{n} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^{-1} < \infty \end{eqnarray*}$ .

Bin froh, falls jemand einen Tipp hat.
Danke!

02.10.2009, 16:25

Mystic

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RE: Primfaktorzerlegung, Summe, Produkt
Du musst

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1-\frac 1 p} \end{eqnarray*}$

als Summe einer unendlichen geometrischen Reihe mit Quotient 1/p deuten und das Produkt dann ausmultiplizieren...

03.10.2009, 12:28

ge88

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Hey, hallo! Erstmal danke fuer die Antwort.
Es gilt
$\begin{eqnarray*} \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^{-1} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^k} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{p} \right)^k \end{eqnarray*}$ .
Und das ist alles? Man kommt also auf die Idee, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n \in \mathcal{N(\mathcal{P})}} \frac{1}{n} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{p} \right)^k \end{eqnarray*}$ gilt.. irgendwie begreife ich es noch nicht ganz.

03.10.2009, 12:48

tmo

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Am besten betrachtest du:

$\begin{eqnarray*} \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^k} \right) \end{eqnarray*}$

Die Idee:
Der Ausdruck ist das Produkt aus Summen. In den Summen kommt jede Primzahl aus P in jeder Potenz vor. Wenn man dann ausmultipliziert, wird also jede mögliche Primfaktorzerlegung einer Zahl, die von P erzeugt wird, einmal als Summand vorkommen.

03.10.2009, 13:02

ge88

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Ok, das sollte also offensichtlich sein.
Danke!

03.10.2009, 14:59

Mystic

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Zitat:

Original von ge88
$\begin{eqnarray*} \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^k} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{p} \right)^k \end{eqnarray*}$ .
.

Deine Probleme scheinen ja schon auf einem viel tieferen Niveau, nämlich mit dem simplen "Ausmultiplizieren" von Termen zu beginnen... Für $\begin{eqnarray*} \mathcal P =\{2,3\} \end{eqnarray*}$ würde z.B. deine obige Rechnung so aussehen

$\begin{eqnarray*} (1+\frac 1 2 +\frac 1 {2^2}+\frac 1 {2^3}+...)(1+\frac 1 3 +\frac 1 {3^2}+\frac 1 {3^3}+...)=1+\frac 1 6 +\frac 1 {6^2}+\frac 1 {6^3}+... \end{eqnarray*}$

und das kann ja wohl nicht ganz stimmen... traurig

04.10.2009, 07:39

ge88

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Werde jetzt nicht wieder boese. Danke, dass du mir meinen Fehler gezeigt hast. Das naechste Mal werde ich einfach verbal "ausmultiplizieren".

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