wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von Geom(p)

02.10.2009, 16:00

Miky

wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von Geom(p)

Hallo!
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Und zwar habe ich die Aufgabe, die Momente der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion einer geometrischen Verteilung $\begin{eqnarray*} Geom(p) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X=m)=pq^{m-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \in \left\{1,2,...\right\} \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Einen Ansatz habe ich schon:
$\begin{eqnarray*} g_{X}(s)=\sum_{k=1}^{\infty}~s^kpq^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}~ps(sq)^{k-1}=ps\sum_{k=0}^{\infty}~(sq)^k=\frac{ps}{1-sq} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Und jetzt fängt mein Problem an. Die Definition, die wir bekommen haben, ist $\begin{eqnarray*} g_{X}^{(m)}(s)=\sum_{k=m}^{\infty}~k(k-1)...(k-m+1)p_{k}s^{k-m} \end{eqnarray*}$ . Da k=m gegeben ist, müsste die Summe des ersten Moments ja bei 1 anfangen.
Also $\begin{eqnarray*} g_X^{'}(s)=\sum_{k=1}^{\infty}~ks^{k-1}pq^{k-1}=p\sum_{k=1}^{\infty}~k(sq)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Berechne ich das so richtig und wenn ja, wie bekomme ich das k aus der Summe?

Wäre schön, wenn mir bald jemand antworten könnte.

02.10.2009, 16:06

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Zitat:

Original von Miky
Einen Ansatz habe ich schon:
$\begin{eqnarray*} g_{X}(s)=\sum_{k=1}^{\infty}~s^kpq^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}~ps(sq)^{k-1}=ps\sum_{k=0}^{\infty}~(sq)^k=\frac{ps}{1-sq} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Ja.

Zitat:

Original von Miky
Die Definition, die wir bekommen haben, ist $\begin{eqnarray*} g_{X}^{(m)}(s)=\sum_{k=m}^{\infty}~k(k-1)...(k-m+1)p_{k}s^{k-m} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Defintion - $\begin{eqnarray*} g_X \end{eqnarray*}$ ist ja schon definiert. Es ist nur eine Folgerung aus dieser bereits erfolgten Definition von $\begin{eqnarray*} g_X \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Miky
Also $\begin{eqnarray*} g_X^{'}(s)=\sum_{k=1}^{\infty}~ks^{k-1}pq^{k-1}=p\sum_{k=1}^{\infty}~k(sq)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Das ist zwar richtig - aber warum so umständlich? Du hast doch bereits $\begin{eqnarray*} g_{X}(s) =\frac{ps}{1-sq} \end{eqnarray*}$ berechnet, leite doch einfach den Term nach $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ab!!!

02.10.2009, 16:16

Miky

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Ja, ich könnte ableiten, das habe ich mir aucgh schon überlegt. Aber ich soll eigentlich das m-te Moment bestimmen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g_{X}^{(m)}(s)=\frac{k!pq^{k-1}{(1-qs)^{n+1}} \end{eqnarray*}$ ist. Ich dachte, dass geht nur mit Hilfe der Formel und nicht durch ableiten?

02.10.2009, 16:19

Miky

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Ja, ich könnte ableiten, das habe ich mir aucgh schon überlegt. Aber ich soll eigentlich das m-te Moment bestimmen und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g_{X}^{(m)}(s)=\frac{k!pq^{k-1}}{(1-qs)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ ist. Ich dachte, dass geht nur mit Hilfe der Formel und nicht durch ableiten?

02.10.2009, 16:41

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Da hast du falsch gedacht.

Es ist doch gerade der Sinn und Zweck dieser momenterzeugenden Funktionen, dass man sich eben nicht bei jedem Moment wieder und wieder mit den Reihen herumschlagen muss!!! Idee!

02.10.2009, 16:51

Miky

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Und wie kann ich das am besten machen? Kann ich die ersten Momente durch Ableiten bilden, dann die Schlussfolgerung auf die Formel des m-ten Moments ziehen und diese dann durch Induktion beweisen?

02.10.2009, 17:06

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Habt ihr denn gar keine Theorie dazu gehabt? Ich finde diese Fragen einigermaßen befremdlich. unglücklich

Es ist $\begin{eqnarray*} g_X(s) := E(s^X) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te Ableitung nach $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist entsprechend der normalen Differentiationsregeln für die Potenz gleich

$\begin{eqnarray*} g_X^{(m)}(s) = E(X(X-1)\cdot \ldots \cdot (X-m+1)s^{X-m}) \end{eqnarray*}$ ,

genau wie bei dir oben, nur mit dem Erwartungswertoperator geschrieben. Speziell für die Momente sind jetzt nur die Funktionswerte dieser Ableitungen an der Stelle $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ interessant:

$\begin{eqnarray*} g_X^{(m)}(1) = E(X(X-1)\cdot \ldots \cdot (X-m+1)) \end{eqnarray*}$ ,

also um die ersten aufzuschreiben

$\begin{eqnarray*} g_X'(1) &=& E(X) \\ g_X''(1) &=& E(X(X-1)) \\ g_X'''(1) &=& E(X(X-1)(X-2)) \end{eqnarray*}$

usw. Durch passende Linearkombinationen lassen sich daraus alle benötigten Momente $\begin{eqnarray*} E(X^m) \end{eqnarray*}$ berechnen.

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Und was die Formel

Zitat:

Original von Miky
$\begin{eqnarray*} g_{X}^{(m)}(s)=\frac{k!pq^{k-1}}{(1-qs)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

betrifft: Ja, die kannst du durch Vollständige Induktion beweisen. Aber die ist NICHT identisch mit den Momenten der Zufallsgröße (für m>1 auch nicht an der Stelle s=1), deswegen ist deine Wortwahl "Formel des m-ten Moments" im letzten Beitrag ziemlich irreführend.

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