PDE elliptisch

02.10.2009, 17:34

gerd2001

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PDE elliptisch

Hallo,
Mich würde mal intressieren warum man einer elliptischen PDE

zb:
$\begin{eqnarray*} Lu:=\sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \end{eqnarray*}$

eine Quadrik

$\begin{eqnarray*} A \xi := \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j \end{eqnarray*}$

zuweisen kann

außerdem warum spielt bei der Klassifizierung von PDS nur der Term mit den höheren ableitung eine Rolle?

ich hoffe ihr könnt mir helfen und schonmal Danke

03.10.2009, 12:43

gerd2001

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wisst ihr nicht was ich meine
hab ich die frage vieleicht zu undeutlich gestellt?

04.10.2009, 00:18

gerd2001

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kann da denn niemand helfen

04.10.2009, 23:02

gerd2001

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tja schade
aber ich oush nochmal
vieleicht weiß es ja doch jemand

05.10.2009, 15:39

Mathespezialschüler

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Ich verstehe deine Frage nicht so ganz. Warum sollte man dem keine Quadrik zuweisen (können)? Das ist doch erstmal nur ein formales Vorgehen. Die Frage ist eher, warum man das macht und was das einem bringt. Wenn du dazu eine Frage haben solltest, dann stelle sie bitte konkret. Ich kenn mich mit dem Thema auch nicht sonderlich gut aus, aber sicher lassen sich einige Aussagen über die DGL selbst machen, wenn man sich die Koeffizientenstruktur genauer anguckt, und da bietet es sich hier anscheinend an, die zugehörige Quadrik in der ein oder anderen Weise zu untersuchen.

05.10.2009, 16:04

gerd2001

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also ich versthe nicht
was bei der Quadrik

$\begin{eqnarray*} A \xi := \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ sind ja dann doch nicht die selben wei bei der pde, oder?

und was sind dann die dann $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_j \end{eqnarray*}$ .

in dem sinne was heist zuordnen?

ich hoffe das ist n bsichen klarer?

so wenn man das jetzt gemahct hat kann amn anhand der $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ bzw der Matrix die diese beschreiben die pde klassifizieren.
Nun gut warum spielt da aber nur der Hauptteil (als der teil mit den ableitungen der höchsten Ordnung eine Rolle).

zb ich hab mir versucht das an einem kleinen bespiel zu verstehn

$\begin{eqnarray*} f''-f'=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=e \end{eqnarray*}$

eine Lsg wäre ja wenn f=c also konstant wäre, das geht aber nicht wegen den Randbedingungen
und f eine gerade die die beiden punkte verbindet wäre ja auch nicht richtig da die dgl ja dann nicht erfüllt wäre.

was ist also die lsg zb die e-funktion e^x.

so weiter bin ich aber noch nicht wirklich
jetzt erkenn ich daran nicht warum es wichtig ist das man nur die höheren ableitungen betrachtet
vieleicht könnt ihr mir n bsichen auf die sprüge helfen.

danke

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05.10.2009, 16:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von gerd2001
also ich versthe nicht
was bei der Quadrik

$\begin{eqnarray*} A \xi := \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ sind ja dann doch nicht die selben wei bei der pde, oder?

Doch, in der Regel schon. Es gibt auch PDGLs, bei denen diese $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ keine Konstanten, sondern zusätzliche Funktionen sind. Da kann man das in dieser Art natürlich nicht unbedingt machen - für Konstanten geht das aber schon.

$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist einfach der Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Eine quadratische Form (das Wort "Quadrik" ist hier unpassend - ich hatte es vorhin unaufmerksamerweise übernommen) ist ein homogenes Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Variablen, d.h. es ist von der Form

$\begin{eqnarray*} q(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i,j}~a_{ij}x_ix_j \end{eqnarray*}$ .

Ob die Variablen dabei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ heißen, ist egal. Ich hoffe, damit ist klar, was die $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_j \end{eqnarray*}$ bedeuten sollen.

Zu den Details bezüglich der PDGLen selbst kann ich dir nicht weiterhelfen.

05.10.2009, 16:32

gerd2001

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jo das schon kla, danke
aber was wären denn die $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_j \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Lu:=\sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zu den Details bezüglich der PDGLen selbst kann ich dir nicht weiterhelfen.

vieleicht kann da jemand anderes weiterhelfen der sich mit pdes auskennt

05.10.2009, 17:00

Mathespezialschüler

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Da gibt es keine $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \xi_j \end{eqnarray*}$ . An deren Stelle steht dann halt der Differentialoperator "partielle Ableitung nach der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten bzw. $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Koordinate".

05.10.2009, 17:06

gerd2001

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ok danke
das mit der quadrik hab ich jetzt wohl verstanden

vieleicht weiß ja ncoh jemand was zu der Klassifizierung der pdes.

05.10.2009, 22:41

gerd2001

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also ich habe immer noch ein problem mit dem hauptteil eine dgl und würde die frage dann gerne in einem extra thema besprechen, wenn das erlaubt ist

ich stelle die frage dann hier nochmal genau und falls sich ein moderator findet kann er es ja in ein extra thema verschieben (will keine doppelpost machen)
---------------------------------------------------
Man kann eine pde zb 2ter ordnung anhand der Koeffizienten vor dem Hauptteil(der Teil mit den Ableitung 2ter (also höchster) Ordnung) klassifizieren

Nun gut warum spielt da aber nur der Hauptteil eine Rolle
zb ich hab versucht das an einem kleinen bespiel zu verstehen

$\begin{eqnarray*} f''-f'=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=e \end{eqnarray*}$

eine Lsg wäre ja wenn f=c ,also konstant wäre, das geht aber nicht wegen den Randbedingungen
und f eine gerade die die beiden punkte verbindet wäre ja auch nicht richtig da die dgl ja dann nicht erfüllt wäre.

was ist also die lsg zb die e-funktion e^x.

so weiter bin ich aber noch nicht wirklich

jetzt erkenn ich daran nicht warum es wichtig ist das man nur die höheren ableitungen betrachtet
vieleicht könnt ihr mir n bsichen auf die sprüge helfen.

schonmal danke

07.10.2009, 22:58

gerd2001

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sry
ich push nochmal in der Hoffnung dass mir doch noch jemand weiterhelfen kann

09.10.2009, 15:45

gerd2001

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$\begin{eqnarray*} af''-f'=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=e \end{eqnarray*}$

man könnte auch überlegen wie ändert sich die Lösung wenn

a>0 zb a =1

Lsg: $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

a<0 zb a=-1
LSg: $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$

bei

$\begin{eqnarray*} f''+f'=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$

also vorzeichen vor der kleineren ableitung geändert

mit den selben ranbdbedingungen wäre die lösung
$\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$

aber es müssten ncoh die randbedingungen geändert werden

also macht es heir keinen unterschied wo ich das vorzeichen ändere

ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen
ich steh da echt auf dem schlauch

09.10.2009, 23:42

Abakus

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Zitat:

Original von gerd2001
Man kann eine pde zb 2ter ordnung anhand der Koeffizienten vor dem Hauptteil(der Teil mit den Ableitung 2ter (also höchster) Ordnung) klassifizieren

Nun gut warum spielt da aber nur der Hauptteil eine Rolle
zb ich hab versucht das an einem kleinen bespiel zu verstehen

$\begin{eqnarray*} f''-f'=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=e \end{eqnarray*}$

Ich versteh dein Beispiel erstmal nicht, das ist doch eine gewöhnliche DGL (und keine PDE).

Eine Klassifikation von PDE ist zB hier definiert.

Grüße Abakus smile

smile

10.10.2009, 14:30

gerd2001

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hi,
ist doch ne pde 2ter ordung halt nur im eindimensionalen
mit randbedingungen

man kann ja auch ne pde zweiter ordnung auf nem gebiet im R^n haben n>2

man nennt eine pde im eindimensionalen gewöhnlich dgl
um jetzt hier ein wohlgestelltest problem zu bekommen
bei $\begin{eqnarray*} f''-f'=0 \end{eqnarray*}$ müsste ich ja nur einen anfganswert angeben $\begin{eqnarray*} f(0)=y \end{eqnarray*}$

aber ich hab es mit randwerten gemacht
da ich ja ein beschränktes gebiet habe

aber wenn das beispiel nicht gut ist um mein problem zu verstehn
vieleicht kannst du n besseres nennen...es geht mir ja nur darum zu verstehn warum man nur den hauptteil benutz (höchstwahrscheilich weil er den größten einfluss auf die lösung hat)
aber wie seh ich das?

danke

11.10.2009, 11:05

Abakus

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Zitat:

Original von gerd2001
...es geht mir ja nur darum zu verstehn warum man nur den hauptteil benutz (höchstwahrscheilich weil er den größten einfluss auf die lösung hat)
aber wie seh ich das?

Die Idee könnte sein, PDE durch geeignete Transformationen (Diffeomorphismen) auf die Typen der Klassifikation zurückzuführen, eben ähnlich wie bei der Hauptachsentransformation von Quadriken auch. Geeignete Voraussetzungen vorhanden (zB linear 2-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)... ändert sich dabei der Typ der bestimmenden Matrix nicht (Trägheitssatz v. Sylvester).

Grüße Abakus smile

smile

11.10.2009, 13:02

gerd2001

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das könnte es wirklich sein,
aber bestimmt gibt es auch noch andere motivationen dafür
wenn noch jemand welche kennt
aber das ist schonmal ne gute erklärung
danke

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