Funktion sin(1/x) auf Stetigkeit untersuchen |
| 02.10.2009, 21:35 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Funktion sin(1/x) auf Stetigkeit untersuchen ich möchte die Funktion auf Stetigkeit untersuchen. Ich weiß, dass eine Funktion stetig ist, wenn ich sie "ohne Absetzen des Stiftes durchzeichnen kann" . Also wenn für kleine Änderungen des x-Wertes der y-Wert sich auch nur sehr wenig ändert. Nicht stetig sind also Funktionen mit Sprüngen. z.B. oder sieht ja so aus: [attach]11343[/attach] Jetzt zu meiner Funktion . Ich habe gelesen, dass diese an einer Stelle (ich nehme mal an x=0, weiß aber nicht so genau warum) unstetig ist, da links- und rechtsseitiger Grenzwert nicht existieren. Allerdings kann ich das nicht so ganz nachvollziehen. Ich berechne doch den Sinus eines Wertes. Und der Sinus nimmt doch immer Werte zwischen -1 und 1 an. Auch wenn ich den Sinus von unendlich berechne, wird sich da doch nicht viel ändern... Hat mir jemand einen Tipp bzgl der Stetigkeit? Gruß, smiiile |
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| 02.10.2009, 21:37 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, an der Stelle x=0 ist die Funktion doch noch nicht mal definiert, wie kann sie dann da stetig sein? |
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| 02.10.2009, 21:58 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » |
oh, na klar.. manchmal sieht man die einfachsten Sachen nicht... 
Die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht definiert, da man da ja durch 0 teilen müsste, das aber ja nicht darf. Also wird es schon an der Stelle x=0 interessant. Nun gilt es aber noch zu entscheiden, ob an der Stelle x=0 eine hebbare Definitionslücke hat oder eine andere Unstetigkeit. Also: existieren der links- und rechtsseitige Grenzwert und konvergieren gegen den gleichen Grenzwert für x gegen 0? Oder tun sie das nicht? Ich kann mir auch irgendwie immer noch nicht vorstellen, wie diese Funktion aussieht? Wenn ich sie sehen würde, könne ich das ja ganz gut entscheiden... |
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| 02.10.2009, 22:00 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
| 02.10.2009, 22:30 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » |
ah, vielen Dank für das Bild
Das sieht aber ziemlich eng aus da bei x gegen 0... Wenn ich das richtig sehe, wird die Funktion immer enger, schneidet aber dann doch die x-Achse bei x=0, oder? (also, man muss x=0 ausnehmen, da ist die Funktion ja nicht definiert, wie ich mittlerweile weiß 
) Also wäre es eine hebbare Definitionslücke... Stimmt das?Das passt aber nicht ganz mit dem zusammen was ich gelesen habe, nämlich, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert nicht existieren. Und das tun sie doch bei einer hebbaren Definitionslücke. |
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| 02.10.2009, 22:34 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, es oszilliert immer mehr Richtung 0. |
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| 02.10.2009, 23:42 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » |
aber irgendeinen Wert muss es doch direkt "neben" der Definitionslücke annehmen, oder? Oder oszilliert es so stark, dass es keinen Grenzwert gibt, da wir uns in den reellen Zahlen befinden und diese vollständig sind? |
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| 02.10.2009, 23:43 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist und da sollte doch klar sein dass es oszilliert oder? |
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| 02.10.2009, 23:51 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, schon. Aber ich kann mir das nicht so richtig vorstellen, dass die Funktion dann also unendlich oft oszillieren soll nur in einem ganz kleinen Intervall... Wenn es also die ganze Zeit oszilliert, dann dürfte aber auch kein Grenzwert existieren und damit ist die Funktion nicht stetig und es ist auch keine hebbare Definitionslücke. Sondern der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren nicht. |
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| 02.10.2009, 23:54 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kannst ja ein paar Werte ausrechnen wenn du es nicht glaubst... aber es ist nunmal so |
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| 02.10.2009, 23:59 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, werd ich machen. Danke für deine Hilfe
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