holomorphe funktion

Neue Frage »

03.10.2009, 13:57	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
holomorphe funktion Hallo zusammen Folgende Frage: Ich soll bestimmen, in welchen gebiet folgende funktion holomorph ist: f(z)=Log(z+1/z) der hauptlogarithmus ist definiert durch; $\begin{eqnarray} Log(z)=log(\| z \|) +iArg(z) \end{eqnarray}$ ich hab jetzt dieses z+1/z mal umgeschrieben in polarkoordinaten, also $\begin{eqnarray} z+\frac{1}{z} = re^{i(phi)}+ \frac{1}{r}* e^{-i(phi)} \end{eqnarray*}$ aber irgendwie bringt mich das nicht weiter. Ich will es ja in eine form a+ib bringen, sodass ich cauchy riemann anwenden kann. weiss jemand weiter? glg ebi
04.10.2009, 20:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt das Urbild des Intervalls $\begin{eqnarray} I = (-\infty,0] \end{eqnarray}$ unter der Transformation $\begin{eqnarray} \varphi: \ \ z \mapsto w = z + \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ bestimmen. Dann ist $\begin{eqnarray} G = \mathbb{C} \setminus \varphi^{-1}(I) \end{eqnarray}$ das gesuchte Gebiet. $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(I) \end{eqnarray}$ erinnert irgendwie an einen Poseidonschen Dreizack.
05.10.2009, 19:56	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
hi leopold Danke vielmal für die antwort. Konnte allerdings noch nicht ganz folgen. Folgendes hab ich mir überlegt. Der Log(z) ist holomorph auf der geschlitzten komplexen ebene. nun kann ich ja erstmal zeigen, dass die abbildung $\begin{eqnarray} z \Rightarrow z+\frac{1}{z} \end{eqnarray}$ holomorph ist, ausser bei z=0. (Hab ich gezeigt mit cauchy riemann) Die verknüpfung von hol. funktionen ist ja wieder hol. Also hab ich jetzt eine funktion $\begin{eqnarray} z \Rightarrow z+\frac{1}{z} \end{eqnarray}$ , welche holomorph ist ausser für z=0, und den Log, welcher holomorph ist für die geschlitzte ebene. Kann ich jetzt nicht einfach diese ebenen verknüpfen? ich seh den dreizack noch nicht wäre sehr dankbar für eine antwort glg ebi
05.10.2009, 22:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kannst du, aber das wird nicht holomorph. Du hast zwei Funktionen $\begin{eqnarray} f:A\to B \end{eqnarray}$ (angegebene Transformation) und $\begin{eqnarray} g:B\to C \end{eqnarray}$ (Logarithmus). Wenn diese holomorph sind, ist es auch ihre Verknüpfung. Nun trifft deine Transformation (im Bildbereich) $\begin{eqnarray} f:\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C \end{eqnarray}$ bisher aber nicht nur die geschlitzte Ebene $\begin{eqnarray} B:=\mathbb C\setminus (-\infty,0] \end{eqnarray}$ , sondern fast ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Deshalb musst du diese erstmal einschränken, damit das Bild wirklich nur die geschlitzte Ebene ist, d.h. du musst ein Teilgebiet $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb C\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} f(A)\subseteq B \end{eqnarray}$ gilt. Der größte Bereich, den du wählen kannst, ist das Urbild von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , d.h. du musst dafür $\begin{eqnarray} A:=f^{-1}(B) \end{eqnarray}$ bestimmen. Für welche $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ liegt also $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ in der geschlitzen Ebene? Oder anders formuliert (und das entspricht Leopolds Interpretation): Finde alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ auf dem Schlitz liegt, und nehme sie aus dem Definitionsbereich heraus!
05.10.2009, 22:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du redest von der geschlitzten Ebene. Dann mußt du doch aber auch dafür sorgen, daß du mit $\begin{eqnarray} \varphi(z) \end{eqnarray}$ in die geschlitzte Ebene kommst. Denn nur dann kannst du die Verkettung $\begin{eqnarray} \operatorname{Log} \circ \varphi \end{eqnarray}$ bilden. Du mußt also die komplexen Zahlen ausschließen, für die du mittels $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ in das Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ kommst, mußt also mit anderen Worten $\begin{eqnarray} \varphi^{-1}(I) \end{eqnarray}$ bestimmen. $\begin{eqnarray} \varphi(z) \in I \ \ \Leftrightarrow \ \ z + \frac{1}{z} = - t \ \ \text{mit} \ t \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ z = \frac{1}{2} \left( -t \pm \sqrt{t^2 - 4} \right) \end{eqnarray}$ Welche Menge durchläuft also $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ die nichtnegativen reellen Zahlen durchläuft? Unterscheide die Fälle $\begin{eqnarray} 0 \leq t < 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \geq 2 \end{eqnarray}$ .
06.10.2009, 16:20	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zusammen Also erstmal will ich mich echt nochmal bedanken für die guten antworten, ich hab nun tatsächlich geschnallt um was dasses geht bei der aufgabe Auch hab ich die von dir Leopold vorgeschlagene Fallunterscheidung gemacht. Hier nochmal grundsätzlich eine frage: für den fall: $\begin{eqnarray} 0\leq t<2 \end{eqnarray}$ bekomm ich ja $\begin{eqnarray} <br /> \Rightarrow z=\frac{1}{2} (-t\pm \sqrt{\|t^{2}-4 \| }i ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow z=\frac{1}{2} (-t\pm \sqrt{4-t^{2} }i ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow z=\frac{-t}{2} \pm \frac{\sqrt{4-t^{2} }i )}{2} \end{eqnarray*}$ stimmt soweit oder? Ich hab bei solchen ausdrücken immer mühe, um welche menge komplexe zahlen es sich dabei handelt. Wie geht ihr dabei vor? EInfach ein paar werte für t einsetzen und schauen was dabei rauskommt? Ich hab jetzt mal beide fälle geplottet, und hab folgendes raus: (anhang) Was meint ihr? [attach]11385[/attach] vielen dank nochmal grüsse ebi
Anzeige

06.10.2009, 18:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Für $\begin{eqnarray} t \geq 2 \end{eqnarray}$ sind die Werte rein reell. Die zugehörigen $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ liegen also auf der reellen Achse. Jetzt ist die Frage, welcher Bereich der reellen Achse überstrichen wird. Wenn dir nichts Besseres einfällt, dann führe eine Kurvendiskussion für die beiden Funktionen $\begin{eqnarray} t \mapsto \frac{1}{2} \left( - t \pm \sqrt{t^2 - 4} \right) \, , \ \ t \geq 2 \end{eqnarray}$ durch. Der Wertebereich interessiert hier. 2. Für $\begin{eqnarray} 0 \leq t < 2 \end{eqnarray}$ könnte man $\begin{eqnarray} s = \frac{t}{2} \end{eqnarray}$ substituieren: $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i} y = - \frac{t}{2} \pm \operatorname{i} \cdot \frac{\sqrt{4 - t^2}}{2} = - s \pm \operatorname{i} \cdot \sqrt{1 - s^2} \, , \ \ 0 \leq s < 1 \end{eqnarray}$ Und hierin erkennt man die Parameterdarstellung einer "klassischen" Kurve.
06.10.2009, 22:21	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi leopold $\begin{eqnarray} t \mapsto \frac{1}{2} \left( - t \pm \sqrt{t^2 - 4} \right) \, , \ \ t \geq 2 \end{eqnarray}$ ok, wenn ich 2 einsetze bekomm ich beides mal 1 raus. für t->unendlich bekomm ich: $\begin{eqnarray} t \mapsto \frac{1}{2} \left( - t + \sqrt{t^2 - 4} \right) \, , \ \ t \geq 2 \end{eqnarray}$ ->unendlich und $\begin{eqnarray} t \mapsto \frac{1}{2} \left( - t - \sqrt{t^2 - 4} \right) \, , \ \ t \geq 2 \end{eqnarray}$ -> 0 (entspricht 2tem graph aus meinem letzten anhang) Also muss ich zum komplexen halbkreis welchen ich oben gepostet habe, noch folgendes interwall rausschneiden: [0,+unendlich) richtig so?
07.10.2009, 13:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfe Vorzeichen und Grenzwerte. Das geht ordentlich durcheinander. Und schreibe es vor allem auch so auf, daß man versteht, was bei welchem Grenzübergang wogegen strebt.
07.10.2009, 16:47	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja, da ist tatsäschlich ein vorzeichen flöten gegangen, dankeschön für den hinweis. und siehe da, jetzt hab ich auch den in deinem ersten post angesprochenen Dreizack. noch zu notation dieser menge: $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \setminus\ (e^{iphi} \| phi=[\frac{\pi }{2} ,\frac{3\pi }{4} ],Re(z)<0 ) \end{eqnarray*}$ kann ich das so schreiben? grüsse
07.10.2009, 18:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeinhin steht ein Komma in logischen Ausdrücken für das logische "und". Der linke Halbkreis ist durch $\begin{eqnarray} \|z\|=1, \operatorname{Re}(z) \leq 0 \end{eqnarray}$ und die negative reelle Achse durch $\begin{eqnarray} \operatorname{Re}(z) \leq 0, \operatorname{Im}(z) = 0 \end{eqnarray}$ charakterisiert. Für die zweite Menge ist es aber sicher geschickter, die Intervallschreibweise zu verwenden: $\begin{eqnarray} (-\infty,0 \, ] \end{eqnarray}$ . Dann könnte man das gesuchte Gebiet $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ so schreiben: $\begin{eqnarray} G = \mathbb{C} \setminus \left( \ \left\{ \ z \in \mathbb{C} \ \left\| \ \|z\|=1, \operatorname{Re}(z) \leq 0 \right. \ \right\} \ \cup \ (-\infty,0 \, ] \ \right) \end{eqnarray}$ P.S. Und das Argument $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist natürlich durch $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \pi \end{eqnarray}$ und nicht durch $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \pi \end{eqnarray}$ begrenzt.
07.10.2009, 19:12	ebichu	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar 1000 dank nochmal grüsse

Neue Frage »

Antworten »

holomorphe funktion

Verwandte Themen