Äquivalenzrelation, Verständnisproblem

03.10.2009, 15:06

Black

Äquivalenzrelation, Verständnisproblem

Gegeben ist eine kommutative Gruppe G und die Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$

Durch $\begin{eqnarray*} x \rho _U y \leftrightarrow y - x \in U \end{eqnarray*}$ ist eine Äquivalenzrelation auf G definiert. Es gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} [x]= x + U = \{x+y:y \in U\} \end{eqnarray*}$

Das erste was ich dabei nicht verstehe, ist weshalb $\begin{eqnarray*} y - x \in U \end{eqnarray*}$ gilt?

Was mich außerdem stört, ist dieses $\begin{eqnarray*} [x]=x+U \end{eqnarray*}$ Schließlich ist x doch ein Element aus der Gruppe G, und U selbst ist eine Untergruppe - wie soll da eine Addition funktionieren?

03.10.2009, 15:10

kiste

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RE: Äquivalenzrelation, Verständnisproblem

Zitat:

Original von Black
Das erste was ich dabei nicht verstehe, ist weshalb $\begin{eqnarray*} y - x \in U \end{eqnarray*}$ gilt?

Du liest das falsch, falls $\begin{eqnarray*} y-x\in U \end{eqnarray*}$ gilt sind y und x äquivalent! Das ist also die Bedingung für die Äquivalenz

Zitat:

Was mich außerdem stört, ist dieses $\begin{eqnarray*} [x]=x+U \end{eqnarray*}$ Schließlich ist x doch ein Element aus der Gruppe G, und U selbst ist eine Untergruppe - wie soll da eine Addition funktionieren?

x wird mit jedem Element aus der Untergruppe addiert. Also $\begin{eqnarray*} x + U := \{ x + u \mid u\in U\} \end{eqnarray*}$

03.10.2009, 15:20

Black

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Das heißt also, wenn ich 2 beliebige Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \rho _U x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \rho _U x \end{eqnarray*}$ habe, dann ist $\begin{eqnarray*} a-b \in U \end{eqnarray*}$

Und aus $\begin{eqnarray*} [x]= x+ U = \{ x + y : y \in U\} \end{eqnarray*}$ lässt sich folgern, dass in [x] genau so viele Elemente enthalten sind wie in U selbst?

03.10.2009, 15:27

kiste

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2mal Ja.
Auch wenn beim ersten eigentlich auch $\begin{eqnarray*} a\rho_U b \end{eqnarray*}$ ausreicht Augenzwinkern

03.10.2009, 15:33

Black

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Okay, danke dir. Damit ist das Mysterium Äquivalenzrelation schon nicht mehr ganz so mysteriös Hammer

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