Kompaktheitskriterium von Bolzano: Problem bei Beschränktheit

03.10.2009, 15:08

Sonnenschein1

Kompaktheitskriterium von Bolzano: Problem bei Beschränktheit

Hallo,
ich bin gerade beim Kompaktheitskriterium von Bolzano:
Dieses besagt ja, dass ein Raum X( z.B. Teilmenge aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} ^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb {C} ^n \end{eqnarray*}$ ) kompakt ist, wenn er beschränkt und abgeschlossen ist.

So, abgeschlossen ist mir klar: Das bedeutet, dass der Rand mit dazu gehört.
Also beispielsweise das abgeschlossene Intervall [0,1] oder eine Menge im $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} ^n \end{eqnarray*}$ zu der ihr Rand dazugehört.

Bei der Beschränktheit kommt jetzt das Problem.
Und zwar, reicht es da, wenn der Raum nur in eine Richtung beschränkt ist? Also wenn ich eine Funktion habe, reicht es zu sagen, die Funktionswerte sind alle positiv(denn dann wäre die Funktion ja nach unten beschränkt durch y =0...) ?

Bis jetzt war ich nämlich der Meinung, dass beschränkt bedeutet: beschränkt nach oben und nach unten, denn dies bedeutet ja, dass der Betrag der Zahl < C ist.
Und beschränkt nach oben bedeutet beschränkt nach oben,
sowie beschränkt nach unten bedeutet beschränkt nach unten.

Also nochmals konkret:
Bedeutet beschränkt: beschränkt nach oben und unten
oder: beschränkt nach oben oder unten.

Gruß,
Sonnenschein1

03.10.2009, 15:45

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränkt bedeutet in beide Richtungen:
Eine etwas andere Formulierung der Beschränktheit:
Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heisst beschränkt genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ganz in der [offenen] Kugel um 0 mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

03.10.2009, 15:54

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, dann wäre beschränkt bei deinem Beispiel ja sogar beschränkt in alle Richtungen.

Dann verstehe ich aber ein Beispiel nicht, das wir in der Vorlesung hatten:
und zwar $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig
$\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Daraus haben wir gefolgert, dass [a,b] nach Bolzano kompakt ist( da beschränkt und abgeschlossen)

Aber dies ist doch nur nach unten beschränkt... und nicht in beide Richtungen, also ist doch die Beschränktheit verletzt, oder nicht?

Noch eine andere Frage: Gilt das Kompaktheitskriterium von Bolzano immer oder gibt es da irgendwelche Einschränkungen (z.B. bzgl auf welchem Raum man sich befinden, also z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb {R}, \mathbb {R}^n,\mathbb {C},\mathbb {C}^n \end{eqnarray*}$ )?

03.10.2009, 16:15

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Daraus haben wir gefolgert, dass [a,b] nach Bolzano kompakt ist( da beschränkt und abgeschlossen)

Meinst du bei der Folgerung wirklich [a,b] oder vielleicht f([a,b])?

[a,b] ist sicher kompakt, da es sicher abgeschlossen und durch a und b beschränkt ist.

Das Kompaktheitskriterium gilt für endlichdimensionale Räume.

Es gilt nicht für unendlichdimensionale Räume.

Gruß

03.10.2009, 17:24

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sonnenschein1

Aber dies ist doch nur nach unten beschränkt... und nicht in beide Richtungen

Nein.
Das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist kompakt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig. Damit, zb mit dem Zwischenwertsatz, nimmt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Minimum und ein Maximum an, also ist die Bildmenge $\begin{eqnarray*} f([a,b]) \end{eqnarray*}$ durch diese beiden Werte beschränkt.

03.10.2009, 20:50

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Meinst du bei der Folgerung wirklich [a,b] oder vielleicht f([a,b])?

Ja, ich meinte wirklich [a,b]. Aber f([a,b]) ist ja auch beschränkt, was hieraus folgt:

Zitat:

Das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist kompakt und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig. Damit, zb mit dem Zwischenwertsatz, nimmt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Minimum und ein Maximum an, also ist die Bildmenge $\begin{eqnarray*} f([a,b]) \end{eqnarray*}$ durch diese beiden Werte beschränkt.

Ja, ok, das sehe ich ein. Das ist ja auch die Aussage des Satzes von Weiherstrass: Ist eine kompakte Menge gegeben, so wird der größte als auch der kleinste Funktionswert angenommen. Also existieren Maximum und Minimum und damit ist die Menge beschränkt (sowohl nach oben und unten durch diesen Satz als auch nach rechts und links durch das abgeschlossene Intervall)

Das hießt bei diesem Beispiel bin ich jetzt einverstanden.

Jedoch habe ich allgemein noch das Problem, dass ich nicht weiß, wie die Forderung von Beschränktheit im Kompaktheitskriterium von Bolzano aufzufassen ist.
Reicht also eine Beschränkung nach rechts und links
Oder reicht eine Beschränkung nach oben und unten (eines davon reicht ja nicht aus.)
Oder ist es wichtig, dass die Menge in alle möglichen Richtungen beschränkt ist?

Zitat:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heisst beschränkt genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ganz in der [offenen] Kugel um 0 mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Du sprichst hier von einer Kugel. Also ist wohl doch die Beschränktheit in alle möglichen Richtungen ausschlaggebend.

Habe ich das richtig verstanden?

03.10.2009, 21:03

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sonnenschein1

Du sprichst hier von einer Kugel. Also ist wohl doch die Beschränktheit in alle möglichen Richtungen ausschlaggebend.

Habe ich das richtig verstanden?

03.10.2009, 23:12

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen Dank für eure Hilfe smile

Neue Frage »

Antworten »

Kompaktheitskriterium von Bolzano: Problem bei Beschränktheit

Verwandte Themen