R euklidisch => R Hauptidealring

03.10.2009, 15:10	dum	Auf diesen Beitrag antworten »
R euklidisch => R Hauptidealring Es geht um den Beweis der Behauptung aus dem Titel. Hier der Beweis, so wie ich ihn wiedergeben würde. $\begin{eqnarray} <br /> \text{Sei }R\text{ ein euklidischer Ring mit euklidischer Funktion }f\text{. Sei }0 \neq I\text{ ein Ideal in }R\text{. Wählen }0 \neq a \in I\text{ so dass }f(a)\text{ minimal.}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \text{Sei }b \in I\text{ beliebig. Da }R\text{ euklidisch: } b = q \cdot a + r\text{ mit }\left[r=0 \vee f(r) < f(a)\right]<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \text{Da }f(a)\text{ minimal: }r=0\text{ und damit } b=q \cdot a\text{. Haben gezeigt: für beliebige b}\in I\text{ gilt }b = q\cdot a \quad (q \in R)\text{. Also ist }I = a\cdot R<br /> \end{eqnarray}$ In den Beweisen, die ich lese, wird aber zusätzlich noch erwähnt: $\begin{eqnarray} <br /> r = b - q\cdot a \text{, also insbesondere } r \in I<br /> \end{eqnarray}$ Diese letztere Tatsache erscheint mir persönlich für den Beweis überflüssig, so dass ich mich frage, ob ich etwas übersehen/missverstanden habe.
03.10.2009, 15:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Folgerung r=0 wird benötigt dass r in I liegt. Denn a ist nur minimal relativ zu allen anderen Elementen in I.
03.10.2009, 15:28	dum	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, wie ich mir gedacht habe. Für meinen Geschmack müsste man explizit sagen, dass sich die Minimalität auf I bezieht, aber egal...
03.10.2009, 15:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht doch explizit dabei?! Wähle a nicht-null, in I so dass f(a) minimal.
03.10.2009, 15:50	dum	Auf diesen Beitrag antworten »
a in I schon, aber nach meinem Verständnis könnte dann immer noch gelesen werden: f(a) < f(b) für alle b in R.
03.10.2009, 15:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja so ist es jedenfalls nicht gemeint Kannst du dir ja auch an einem Beispiel klar machen: Nehmen wir $\begin{eqnarray} R = K[x] \end{eqnarray}$ für irgendeinen Körper K und $\begin{eqnarray} I = \langle x^2\rangle \end{eqnarray}$ . Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} a=x^2 \end{eqnarray}$ minimal bezüglich der Gradfunktion falls $\begin{eqnarray} a\in I \end{eqnarray}$ sein muss. Aber $\begin{eqnarray} b = x \not\in I \end{eqnarray}$ ist kleiner als a
Anzeige

03.10.2009, 15:58	dum	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, mit dem Beispiel wird es gleich viel anschaulicher.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »