Normalverteilung: Aufgabe

03.10.2009, 15:52

fraggelfragger

Normalverteilung: Aufgabe

Könntet ihr mir bei dieser Aufgabe bitte etwas unter die Arme greifen?

Zitat:

Eine Schwebebahnkabine kann 50 Personnen transportieren und befördert maximal 4700kg. Man nimmt an das Gewicht X einer Person sei normalverteilt mit dem Erwartungswert 80kg und der Standardabweichung 12kg.
Man erlaubt jeder Person Gepäck mitzunehmen. Das Gepäck einer Person hat das Gewicht Y , es sei auch normalverteilt, mit einem Erwartungswert von 10a kg und einer Standardabweichung von 5a kg. Wobei der Parameter a > 0 ist.

1. Man berücksichtigt 50 Personen steigen durch Zufall in diese Schwebebahnkabine. Zeigen sie das das Gesamtgewicht ebenfals einer Normalverteilung entspricht.

2. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit der Überladung der Kabine wenn a=1.

3. Was ist der maximale Wert für a damit die Wahrscheinlichkeit der Überladung kleiner als 0,001 liegt.

Lösungsansatz:

1. Zufallvariablen sind unabhängig voneinander (X $\begin{eqnarray*} \perp \end{eqnarray*}$ Y)
ausserdem entsprechen beide einer Normalverteilung.

Ich weis das $\begin{eqnarray*} E(X+Y) = E(X) + E(Y) \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} V(X+Y) = V(X) + V(Y) \end{eqnarray*}$
gilt wenn X unabhängig von Y ist
Wie ich aber nun beweise das das Gesamtgewicht ebenfals einer normalverteilung entspricht, weis ich nicht. Kann mir jemand ein Denkanstoß geben?

$\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(50*80, 50* 12) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y \sim \mathcal N(50*10a, 50* 5a) \end{eqnarray*}$

2. Eine Überladung findet ab 4700kg statt. Deshalb ist P(X+Y > 4700) gesucht.
Gegeben haben wir:
$\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(4000, 600) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y \sim \mathcal N(500, 250) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X+Y \sim \mathcal N(4500,650) \end{eqnarray*}$

Anpassung an stand. Normalverteilung:
$\begin{eqnarray*} X+Y > 4700 -> \frac {X+Y-4500}{650} = Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Z > 0,3077 ) = 0,6443 \end{eqnarray*}$

bis hierhin erstmal...

danke im vorraus für eure Hilfe

03.10.2009, 16:48

Huggy

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RE: Normalverteilung: Aufgabe
(1) In der Aufgabe ist unglücklicherweise von Streuung die Rede. Da bleibt unklar, ob die Varianz oder die Standardabweichung gemeint ist. Aus der Dimension kann man schließen, dass die Standardabweichung gemeint ist, denn die Varianz hätte die Dimension kg² und nicht kg.

(2) Du schreibst richtig:

$\begin{eqnarray*} V(X+Y)=V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$

Im weiteren tust du aber so, als würde gelten

$\begin{eqnarray*} \sigma(X+Y)=\sigma(X)+\sigma(Y) \end{eqnarray*}$ ,

was falsch ist.

(3) Die Zeile

$\begin{eqnarray*} X+Y \sim \mathcal N(4500, 650) \end{eqnarray*}$

ist ganz ominös. Additionsfehler?

(4) Wenn ihr schon bewiesen habt, dass die Summe von zwei normalverteilten Grö0en wieder normalverteilt ist, dann folgt das für die Summe von n normalverteilten Größen einfach durch Induktion.

04.10.2009, 14:12

fraggelfragger

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RE: Normalverteilung: Aufgabe

Zitat:

Original von Huggy
(1) In der Aufgabe ist unglücklicherweise von Streuung die Rede. Da bleibt unklar, ob die Varianz oder die Standardabweichung gemeint ist. Aus der Dimension kann man schließen, dass die Standardabweichung gemeint ist, denn die Varianz hätte die Dimension kg² und nicht kg.

Sry vor lauter Schnell abschreiben der Aufgabe hab ich anstatt Standartabweichung - Streuung geschrieben. Ich habe es oben verbessert.

Zitat:

Original von Huggy
(2) Du schreibst richtig:

$\begin{eqnarray*} V(X+Y)=V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$

Im weiteren tust du aber so, als würde gelten

$\begin{eqnarray*} \sigma(X+Y)=\sigma(X)+\sigma(Y) \end{eqnarray*}$ ,

was falsch ist.

Nein das tue ich eigentlich nicht.
Man kann die obere Beziehung auch mit Standartabweichung ausdrücken:
$\begin{eqnarray*} V(X+Y) = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_{xy} = \sqrt{V(X+Y)} = \sqrt{ \sigma_x^2 + sigma_y^2} = \sqrt {600^2+250^2}= 650 \end{eqnarray*}$

Ist das falsch was ich mache?

04.10.2009, 19:29

Huggy

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RE: Normalverteilung: Aufgabe
Wenn 12 die Standardabweichung des Gewichts einer Person ist, dann ist deren Varianz 12². Dann ist die Varianz des Gewichts von 50 Personen nach dem Additionsgesetz der Varianzen:

$\begin{eqnarray*} V(50X)=50\cdot 12^2 \end{eqnarray*}$

Die Standardabweichung des Gewichts von 50 Personen ist dann:

$\begin{eqnarray*} \sigma(50X)=\sqrt{50\cdot 12^2}=12\sqrt{50} \end{eqnarray*}$

Entsprechendes gilt beim Gepäck.

Und weil du das da falsch gemacht hast, dachte ich, du hast unten versehentlich 600 + 250 = 650 gerechnet. Aber da hast du es richtig gemacht. Nur die Ausgangszahlen stimmen nicht.

05.10.2009, 19:55

fraggelfragger

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Okay dann mach ich mal weiter...

noch immer Teilaufgabe 2):

--------------------------
Standardabweichung anpassen:

$\begin{eqnarray*} V(50X)=50\cdot 12^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(50Y)=50\cdot (5a)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(50X + 50Y) = V(Z) = V(50X) + V(50Y) = 50 (12^2 + (5a)^2) \end{eqnarray*}$

daraus folgt die neue Standardabweichung:

$\begin{eqnarray*} \sigma_z = \sqrt{ V(Z) } = \sqrt{ 50 (12^2 + (5a)^2)} =\sqrt{ 7200 + 1250a^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma_z = 91,92 \end{eqnarray*}$
------------------------
Erwartungswert anpassen:
dies geht einfacher als die anpassung von Standardabweichung.

$\begin{eqnarray*} 50 \cdot E(X+Y) = E(Z) = 50 \cdot E(X) + 50 \cdot E(Y) = 50* 80 + 50* 10a = 500(8+a) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \mu_z = 4500 \end{eqnarray*}$
-----------------------
Z entspricht wiederrum einer Normalverteilung:

$\begin{eqnarray*} Z \sim \mathcal N(\mu_z, \sigma_z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Z \sim \mathcal N( 4500, 91,92) \end{eqnarray*}$
-----------------------
Transformation in die Standardnormalverteilung:
$\begin{eqnarray*} P(Z > 4700) = 1- P(Z \leq 4700 ) = 1 - P(\frac{Z - \mu_z}{\sigma_z} \leq \frac{4700-4500}{91,92}) = 1- P(S \leq \frac{4700-4500}{91,92}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1- P(S \leq \frac{4700-4500}{91,92}) = 1- P(S \leq 2,175) = 1 - 0,9852 = 0,0148 \Rightarrow 1,48% \end{eqnarray*}$
-----------------------

Stimmt die Teilaufgabe 2 nun so?

Eine weitere Frage habe ich noch, könnte man auch das Überlastgewicht pro Person aufteilen, z.b 4700/50 = 94
Weil dann musst man es nur so formulieren:
$\begin{eqnarray*} X+Y \sim \mathcal N(\mu_x + \mu_y, \sqrt{\sigma_x + \sigma_y}) \end{eqnarray*}$

Und ich glaube das würde die Rechnung etwas vereinfachen, wobei ich halt nicht weis ob ich das so machen darf?! Kann mir jemand sagen ob das so machbar ist?

danke für eure Hilfe Freude

//\cdot verbessert

05.10.2009, 20:39

fraggelfragger

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Der Übersicht halber mache ich in einer neuen Antwort weiter.
Teilaufgabe 3):

$\begin{eqnarray*} Z \sim \mathcal N(\mu_z, \sigma_z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Z \sim \mathcal N( 500(8+a), \sqrt{ 7200 + 1250a^2}) \end{eqnarray*}$
-----------------------
Transformation in die Standardnormalverteilung:
$\begin{eqnarray*} P(Z > 4700) = 1- P(Z \leq 4700 ) = 1 - P(\frac{Z - \mu_z}{\sigma_z} \leq \frac{4700-500(8+a)}{\sqrt{ 7200 + 1250a^2}}) = 1- P(S \leq \frac{4700-500(8+a)}{\sqrt{ 7200 + 1250a^2}}) = 0,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(S \leq \frac{4700-500(8+a)}{\sqrt{ 7200 + 1250a^2}}) = 1-0,01 =0,99 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0,99) = 2,33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2,33 = \frac{4700-500(8+a)}{\sqrt{ 7200 + 1250a^2}} \end{eqnarray*}$

jetzt nach a auflösen: dann bekomme :
$\begin{eqnarray*} a_1 = 1,2598 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = -56,93 (kann nicht sein) \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Probe gemacht, es kommt aber nicht 1% raus. hm.. was hab ich falsch gemacht?

06.10.2009, 09:32

Huggy

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Teil 2 ist jetzt richtig.

Zitat:

Eine weitere Frage habe ich noch, könnte man auch das Überlastgewicht pro Person aufteilen, z.b 4700/50 = 94

Das kannst du zwar machen, aber dann darfst du nicht mit den Standardabweichungen einzelner Personen oder Gepäckstücke rechnen, sonderm musst die Standardabweichung des Mittelwerts von je 50 Stück nehmen. Das kommt auf die fast gleiche Rechnung hinaus.

Bei Teil 3 musst du dich bei der quadratischen Gleichung verrechnet haben. Bis dahin stimmt es. Ich bekomme da etwas anderes für a heraus. Außerdem hast du für eine Wahrscheinlichkeit von 0,01 gerechnet. In der Aufgabe steht aber 0,001.

06.10.2009, 14:07

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Zitat:

Original von Huggy
Dann ist die Varianz des Gewichts von 50 Personen nach dem Additionsgesetz der Varianzen:

$\begin{eqnarray*} V(50X)=50\cdot 12^2 \end{eqnarray*}$

Eine überaus gefährliche und deswegen kategorisch abzulehnende Schreibweise: Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ das Gewicht einer Person ist, dann ist $\begin{eqnarray*} 50X \end{eqnarray*}$ das 50fache des Gewichts dieser einen Person, und für das gilt selbstverständlich

$\begin{eqnarray*} V(50X) = 50^2 \cdot V(X) = 50^2 \cdot 12^2 \end{eqnarray*}$ .

Du meinst aber was ganz anderes, nämlich das Gewicht von 50 Personen, deren Einzelgewichte so wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verteilt sind und unabhängig voneinander sind. Das schreibt man dann aber so

$\begin{eqnarray*} V\left( \sum_{k=1}^{50} X_k \right) = \sum_{k=1}^{50} V\left( X_k \right) = 50\cdot V(X) = 50\cdot 12^2 \end{eqnarray*}$ .

06.10.2009, 18:07

fraggelfragger

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Danke Arthur Dent für deinen Hinweis, ich werde diesen in Zukunft berücksichtigen.

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