Das klassische Geburtstagsproblem

03.10.2009, 17:26	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klassische Geburtstagsproblem Hallo, warum ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 von 23 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben nicht: $\begin{eqnarray} 1-\frac{\begin{pmatrix} 365 \\ 23 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 365+23-1 \\ 23 \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ ?
03.10.2009, 17:28	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das klassische Geburtstagsproblem Warum sollte sie das sein?
03.10.2009, 17:29	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das klassische Geburtstagsproblem Weil der Nenner der Term mit "zurücklegen" des Geburtstagsereignisses ist und derZähler so ist, dass jeder Geburtstag nur einmal auftreten kann.
03.10.2009, 20:23	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das klassische Geburtstagsproblem Da gibt es noch Probleme: Die Reihenfolge muss beachtet werden. Bei 2 Personen zählen z.B. Person1 - 10.Tag, Person2- 12.Tag und Person2- 10.Tag, Person1 - 12.Tag als zwei unterschiedliche mögliche Geburtstagsverteilungen. Es gibt für den Nenner also 365^23 Möglichkeiten, die 23 Geburtstage zu verteilen. Ebenso für den Zähler: Dort gibt es 365364 ... * 343 Verteilungen, oder $\begin{eqnarray} 365364* ... * 343 = \frac{365!}{342!}= \begin{pmatrix} 365 \\ 23 \end{pmatrix} * 23! \end{eqnarray}$ Das setzt sich dann zusammen zur Wahrscheinlichkeit, keine gleichen* Geburtstage zu finden $\begin{eqnarray} P=\frac{365364* ...343}{365365* ... 365} \end{eqnarray*}$ Auf dieses Ergebnis stößt man auch, wenn ohne Kombinatorik arbeitet, daher habe ich die auseinandergezogene Darstellung gewählt. Gruß, Kopfrechner
03.10.2009, 20:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist immer und immer wieder derselbe Denkfehler: ein neues rosinenproblem Du bist also nicht allein.
05.10.2009, 23:20	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank schonmal Ich will es nochmal in eigenen Worten sagen, um sicherzustellen, dass ichs verstanden habe. Laplace-Experimente sind so definiert, dass wenn man die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, der Nenner (die Mächtigkeit der Menge S) alle möglichen Kombinationen aufzählt, wobei alle diese Kombinationen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben müsssen. Letzteres ist in unserem Fall verletzt: Bsp.: (Für 4 anstatt der 23 Personnen) Eine mögliche Kombination wäre {1. Januar, 3. Januar, 3. Januar, 8. Januar}. Diese Kombination ist aber weniger wahrscheinlich als {1. Januar, 3. Januar, 4. Januar, 8. Januar}. Somit sind nicht alle Kombinationen der Menge S gleich wahrscheinlich. Widerspruch. Und weil also im Nenner (Mächtigkeit der Menge S) die Reihenfolge beachtet werden muss, damit jedes Element aus S gleich wahrscheinlich ist, muss dann auch im Zähler die Reihenfolge beachtet werden, damit Zähler und Nenner kompatibel sind. Ist das alles richtig?
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06.10.2009, 07:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Mal genau auseinandergenommen: Die Wahrscheinlichkeit, dass Person 1 am 1. Januar, Person 2 am 3. Januar, Person 3 am 4. Januar und Person 4 am 8. Januar Geburtstag haben, ist gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{365^4} \end{eqnarray}$ . Lassen wir die konkrete Personalisierung weg und betrachten nur die 4 Daten, dann kommen sämtliche $\begin{eqnarray} 4! = 24 \end{eqnarray}$ Permutationsmöglichkeiten zum Zuge und wir kommen zur Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{24}{365^4} \end{eqnarray}$ für {1. Januar, 3. Januar, 4. Januar, 8. Januar}. Die Wahrscheinlichkeit, dass Person 1 am 1. Januar, Person 2 am 3. Januar, Person 3 am 3. Januar und Person 4 am 8. Januar Geburtstag haben, ist ebenfalls gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{365^4} \end{eqnarray}$ . Lassen wir aber hier die konkrete Personalisierung weg, dann haben wir hier wegen des doppelten 3.Januar nur $\begin{eqnarray} \frac{4!}{2!} = 12 \end{eqnarray}$ Permutationsmöglichkeiten und damit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{12}{365^4} \end{eqnarray}$ für {1. Januar, 3. Januar, 3. Januar, 8. Januar}.

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