Urbild, ...bitte was genau?

03.10.2009, 17:58

LyriaEL

Urbild, ...bitte was genau?

Hallo liebe Matheliebhaber ^^

Ich habe eine Aufgabe zu lösen und in der Vorbesprechung hiess es, die sei sowieso ganz einfach. Irgendwie glaub ich das ja, aber ich kriegs trotzdem nicht hin, und ich denke das liegt daran, dass ich das Mathe-Latein irgendwie nicht so ganz verstehe. Ich habe auch schon wiki gefragt, aber wirklich wirklcih schlauer daraus bin ich nicht geworden.

Meine Aufgabe ist die folgende:
Bestimme für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$

i) das Bild f([-1,1])
ii) die Urbilder $\begin{eqnarray*} f^{-1}({-1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}([0,1]) \end{eqnarray*}$
iii)und untersuche, ob die Funktion umkehrbar ist. Falls ja, bestimme ihre Umkehrfunktion

Wenn ich richtig liege, dann ist das "Bild" einfach die Linie, welche ich auf einem Koordinationsystem zeichne, wenn ich einen Graph darstelle:
i)

Jetzt heisst es aber das Bild f([-1,1]), ich habe es so verstanden, dass das den Definitionsbereich angibt, das heisst ich würde einfach nur von x =-1 bis x=1 zeichnen, statt wie hier geplottet.

k, für ii) fangen meine eigentlichen Probleme an. Was ist ein Urbild? Auf wiki hat es so ein schönes Bild, dass mir ein bisschen hilft, aber nur ein bisschen...

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Kern_Mathematik.svg
Heisst dass, dass ich mir überlege, welche(s) Element von X auf Y liegt, wenn y = -1 ist?
Und wie schreibe ich das auf? Es gibt keine Zeichnung, oder?

für iii) weiss ich, dass eine Funktion bijiektiv sein muss, damit sie eine Umkehrfunktion hat. In diesem Falle trifft das nicht zu. Aber ganz allgemein, wie würde man eine Umkehrfunktion "machen"? Ich glaube zu wissen, dass man die Originalfunktion einfach an der positiv diagonalen spiegelt, aber das mit dem glauben und wissen halt immer noch nicht das gleiche... zudem nützt das Spiegeln nur was, wenn man es zeichnen muss...

Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand die Zeit nimmt mir zu helfen Mit Zunge

LyriaEL

03.10.2009, 18:17

system-agent

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Zunächst einmal:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von einer Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ in eine Wertemenge $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , geschrieben $\begin{eqnarray*} f: D\to W \end{eqnarray*}$ ist eine eindeutige Zuordnung, das heisst pro Element aus $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ liefert die Funktion genau ein Element aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und das schreibt man dann $\begin{eqnarray*} f(d)=w \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ das Element in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ war und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ das Element in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Dabei heisst dann $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ das Urbild von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Beachte:
Zu jedem Urbild [also Element aus $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ] gibt es genau ein Bild unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also das Element $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Umgekehrt hat aber nicht unbedingt jedes Element in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ auch ein Urbild.

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=\mathbb R \end{eqnarray*}$ [genaugenommen muss man das für eine Funktion stets dazuschreiben was der Definitions- und Wertebereich sein soll].

Zu (i):
Du sollst alle Werte $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ finden so, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .
Zb. liegt 1 in $\begin{eqnarray*} f([-1,1]) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(-1)=1 \end{eqnarray*}$ [und sogar auch $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ ].

Zu (ii):
Beim ersten finde alle Elemente $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ . Anders gesagt: Löse $\begin{eqnarray*} x^2=-1 \end{eqnarray*}$ .
Beim zweiten finde alle Elemente $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ liegt.

Zu (iii):
Falls die Funktion umkehrbar ist, ist sie beispielsweise injektiv. Wieso ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv?
[Hinweis: $\begin{eqnarray*} f(1)=? \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} f(-1)=? \end{eqnarray*}$ ]

03.10.2009, 18:58

LyriaEL

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Hallo System-agent

Ähm, ganz ehrlich, deiner Einleitung konnte ich nicht ganz folgen. Da steht es genau so, wie es überall steht (was darauf hinweist, das es bestimmt richtig ist) aber das wunderbare Ah-ha! Erlebnis ist noch ausgeblieben....
Um was du gesagt hast ein bisschen banaler auszudrücken:

Zitat:

... das heisst pro Element aus D liefert die FUnktion genau ein Element aus W ...

ich setze für x eine Zahl aus $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein und bekomme dafür ein eindeutiges y (es kann auch sein, dass ich für zwei verschiedene x das gleiche y bekomme, aber nie zwei verschiedene y für ein x)

Zitat:

... und das schreibt man dann f(d) = w wenn d das Element in D war und w das Element in W bezeichnet. ...

puh, das ist verwirrend;
kann man auch sagen f(x) = y wenn x aus der Definitionsmenge stamm und y ... k, das versteh ich gar nicht.

Zitat:

Zu jedem Urbild gibt es genau ein Bild.

... Also ein Urbild ist ein Element aus D ... ich verstehs nicht

Trotzdem mal mein weiterer Ansatz:

Du bist gut, natürlich steht ganz oben noch, dass $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei, sry, ich habe es vergessen...

zu i)
ich dachte [-1,1] heisst schon von -1 bis und mit 1. Ist das jetzt eine Aufzählung?
Denn wenn ich dich richtig verstanden habe, dann geht es hier nur um den Fall, dass dass für x=-1 und x=1 beides y=1 ergibt?
Das hiesse, die Aufgabensteller wollen von mir gar keinen Graphen gezeichnet haben (was zwar nie schadet) sonder nur, was du bereits geschrieben hast?

ii)
beim ersten: das kann ich ja gar nicht sinnvoll auflösen, zumindest nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
beim zweiten: das wäre also [-1,1]?

iii)
Jedes y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Y würde höchstens ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X zugeordnet bekommen. Hier haben aber alle y zwei x's, ausser für x=0

für die ander aufgaben habe ich noch rausbekommen wie ich die umkehrfunktion berechne, von daher denke ich ist iii) klar =)

03.10.2009, 19:50

system-agent

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Angenommen du hast zwei Mengen, eine nennst du $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und die andre nennst du $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Nun kann man die Elemente beider Mengen "irgendwie" in Beziehung zueinander setzen. Und das tut eine Funktion.
Anders gesagt:
Eine Funktion ordnet jedem Element aus $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ genau ein Element aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ zu.

Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Menge aller Autos und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ die Menge aller Farben. Angenommen, dass man ein Auto nur mit einer Farbe bemalen darf, dann ist die Zuordnung $\begin{eqnarray*} f: D\to W \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} \text{Auto} \end{eqnarray*}$ wird seine Farbe zugeordnet.
Vielleicht hat euer Auto die Farbe rot. Dann ist der Funktionswert an eurem Auto eben rot, das schreibt sich
$\begin{eqnarray*} f(\text{Auto von LyriaEL})=\text{Rot} \end{eqnarray*}$ .
[Diese Zuordnung ist tatsächlich eine Funktion, denn nach Annahme darf man jedes Auto nur in einer Farbe färben und damit kann ein gegebenes Auto niemals zwei Farben tragen, soll heissen jedes Auto wird unter der Funktio auf genau eine Farbe abgebildet].

Nun kann man fragen welche alle Autos die Farbe rot haben. Dann sucht man
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\text{Rot}) \end{eqnarray*}$ .
Formal:
Man sucht die Menge aller Urbilder [=Elemente von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ] die das Bild $\begin{eqnarray*} \text{Rot}\in W \end{eqnarray*}$ haben.

In unserem Beispiel nimmt die Funktion eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und produziert daraus eine weitere Zahl $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Diese Zahl ist durch das Quadrat der Ausgangszahl bestimmt.

Zitat:

Original von LyriaEL
zu i)
ich dachte [-1,1] heisst schon von -1 bis und mit 1. Ist das jetzt eine Aufzählung?

Nein, es ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von LyriaEL
Denn wenn ich dich richtig verstanden habe, dann geht es hier nur um den Fall, dass dass für x=-1 und x=1 beides y=1 ergibt?
Das hiesse, die Aufgabensteller wollen von mir gar keinen Graphen gezeichnet haben (was zwar nie schadet) sonder nur, was du bereits geschrieben hast?

Nein, die Aufgabensteller wollen, dass du alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ findest für die $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ eine Zahl aus $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ ist. Dazu kannst du die Graphen als Hilfe nehmen.
Beachte: Falls $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq1 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} -1\leq x^2\leq1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von LyriaEL
ii)
beim ersten: das kann ich ja gar nicht sinnvoll auflösen, zumindest nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ja, das ist auch so. Und das bedeutet nun? Sprich: Wie viele $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es nun so, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von LyriaEL
beim zweiten: das wäre also [-1,1]?

Genau.

Zitat:

Original von LyriaEL
iii)
Jedes y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Y würde höchstens ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X zugeordnet bekommen. Hier haben aber alle y zwei x's, ausser für x=0

Genau. Es reicht schon dass es ein einziges $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft gibt.

Wie du die Umkehrfunktion "machst" ist ganz "einfach":
Schreibe $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ , setze die Funktionsvorschrift ein [in deinem Fall wäre das $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ ] und löse das Ganze nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf.
Das ist dann deine Umkehrfunktion.

03.10.2009, 20:05

LyriaEL

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Oh, nun könnte ich dich küssen! Blumen

Wenn du ein Schneider wärst, so hast du mir eben den perfekten Schuh geschneidert. Ich muss ihn zwar noch etwas einlaufen, aber passen tut er auf jeden Fall. Ich mag das Auto Beispiel Augenzwinkern

Ich habe die Aufgabe noch nicht ganz fertig gelöst, aber ich denke ich weiss nun jetzt wie ich es anpacken muss. Idee!

Hab tausend Dank!

lyriael

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