Untervektorraum

03.10.2009, 20:27

Orfelina

Auf diesen Beitrag antworten »

Untervektorraum

Es bezeichne R[x] die Menge aller polynomialen Abbildungen von R nach R, d.h. Funktionen der Form f(x) = a_n*x + ... + a_1*x + a_0 mit a_i Element von R (relle Zahlen), für alle i = 0, ..., n

zu zeigen ist folgendes:

1.) R[x] ist ein Untervektorraum von Abb(R,R).

2.) Die Monome {1, x, x^2, ....} bilden eine Basis von R[x].

3.) R[x] besitzt keine endliche Basis.

Ich hätte viele Fragen, wie zB ob Untervektorraum und Unterraum dasselbe ist etc, aber die Hauptfrage ist: wo und wie beginne ich, und was muss ich für welche Nummer zeigen?

03.10.2009, 20:39

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1)
Du hast irgendwo sicher die Axiome für einen Untervektorraum notiert. Nun beweise alle davon für dieses Beispiel.

Zu 2)
Zeige, dass es ein Erzeugendensystem ist. Danach zeige, dass alles linear unabhängig ist.

Zu 3)
Nimm an dass es eine endliche Basis $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ hat. Jedes der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom, also hat einen gewissen Grad $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ .
Nun zeige, dass $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ kein Erzeugendensystem ist.
[Hinweis: $\begin{eqnarray*} f(X)=X^{d_1\cdot d_2\cdot ...\cdot d_n+1} \end{eqnarray*}$ ]

03.10.2009, 20:47

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektorraum
Wie ich es verstehe, muss man zeigen
1.1. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \neq 0 \end{eqnarray*}$
1.2. v,w $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} [x] \rightarrow \end{eqnarray*}$ (v+w) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$
1.3. v $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}[x] , \lambda \in \mathbb{R} \rightarrow \lambda * \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$

Und wie zeige ich jetzt 1.1?

03.10.2009, 20:52

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir erst einmal klar, was diese Null auf der rechten Seite von 1.1 bedeutet.
Es ist der Nullvektorraum.

03.10.2009, 21:21

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

1.1. Gegenbehauptung: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist der Nullvektorraum
Beispiel: i=2
$\begin{eqnarray*} a_2 + a_1 + a_0 = 0 \end{eqnarray*}$ Widerspruch!

Deshalb gilt das Gegenteil. Somit ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \neq 0 \end{eqnarray*}$

?

03.10.2009, 21:24

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verstehe ich nicht. Ausserdem: wie kommst du auf einmal auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Es geht um den Raum der Polynome $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ .
Begründe, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ nicht der Nullvektorraum ist. Das heisst begründe, dass er noch einen Vektor verschieden von Nullvektor enthält [mach ein Beispiel].
Nur zum Sicherstellen: Deine Vektoren sind hier Polynome !!!

Anzeige

03.10.2009, 21:25

DGU

Auf diesen Beitrag antworten »

Da jeder VR die 0 enthält, ist die Aussage äquivalent dazu, dass R[x] nicht leer ist.

03.10.2009, 21:29

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DGU
Da jeder VR die 0 enthält, ist die Aussage äquivalent dazu, dass R[x] nicht leer ist.

Welche Aussage?

03.10.2009, 21:30

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von DGU
Da jeder VR die 0 enthält, ist die Aussage äquivalent dazu, dass R[x] nicht leer ist.

Welche Aussage?

Seine Aussage: "R[x] ist nicht leer".

Zitat:

Deine Vektoren sind hier Polynome !!!

$\begin{eqnarray*} a_2*x + a_1*x+a_0 \end{eqnarray*}$

03.10.2009, 21:32

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber deine Gegenbehauptung ist unsinn. Also ist es kein Beweis.

03.10.2009, 21:37

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Aber deine Gegenbehauptung ist unsinn. Also ist es kein Beweis.

Du hast ja gesagt, ich solle ein Beispiel machen:

Sei i=2 | $\begin{eqnarray*} 2 \in \{0,...,n\} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} a_2=4, a_1=3, a_0=2 \end{eqnarray*}$ |4,3,2 $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} 3 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

4*3+3*3+2*3=0
27=0 Widerspruch!

Somit ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so richtig?

03.10.2009, 21:42

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal her:
Was ist dein Nullvektor? Es ist das Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)=0+0\cdot X+0\cdot X^2+... \end{eqnarray*}$ , also das konstante Polynom Null.
Nun ist dein Raum aber die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten. Da $\begin{eqnarray*} 1\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ enthält $\begin{eqnarray*} R[X] \end{eqnarray*}$ auch das Polynom $\begin{eqnarray*} g(X)=1\cdot X=X \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} g(X)\neq f(X) \end{eqnarray*}$ , also nicht das Nullpolynom folgt $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X]\neq\{0\} \end{eqnarray*}$ .

03.10.2009, 21:53

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber was ist in deinem Beispiel i und wieso hast du $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ einfach weggelassen?

Steht ja da: Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a_n*x + .... + a_0 \end{eqnarray*}$ und dein $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist doch nicht dieser Form, oder doch?

04.10.2009, 00:37

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Variable i ist ein Laufindex für die Summendarstellung $\begin{eqnarray*} f(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i \end{eqnarray*}$
i läuft von 0 bis n, hat also keinen festen Wert und insofern ist es nicht sehr sinnvoll, diese Variable irgendwo mit einem Wert zu belegen.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(X)=1+X+X^2+X^3+X^4+X^5+X^6 \end{eqnarray*}$ lässt sich prima als $\begin{eqnarray*} f(X)=\sum_{i=0}^6a_iX^i \end{eqnarray*}$ schreiben. Hierbei sind alle $\begin{eqnarray*} a_i=1 \end{eqnarray*}$ .
Außerhalb dieser Summe existiert gar kein i. Welchen Sinn hätte denn Deiner Meinung nach zum Beispiel die Aussage i=5 hier? Für mich keinen!
_____________________________

Im Beispiel von system-agent ist $\begin{eqnarray*} g(X)=X=0\cdot X^0+1\cdot X^1+0\cdot X^2+0\cdot X^3+0\cdot X^4+... \end{eqnarray*}$
Bei der Summendarstellung $\begin{eqnarray*} g(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i>1 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

04.10.2009, 12:39

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hab ich jetzt begriffen.

04.10.2009, 17:05

pablosen

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich Punkt 1.1 $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ machen würde:

$\begin{eqnarray*} a_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wir wählen $\begin{eqnarray*} a_i = 0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Daraus folgt das Nullpolynom:
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 + 0*x + 0*x + ... = 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a_i=0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , folgt dass $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das sonst beweisen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »