Verwirrendes Integral.

04.10.2009, 14:22

Jimmy89

Verwirrendes Integral.

Folgende Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet:

Gegeben ist die Funktion f(x; y) = ln(x - y)

Bestimmen Sie eine explizite Darstellung für g(y) = $\begin{eqnarray*} \int_{y}^{2y}~f(x,y)~dx \end{eqnarray*}$

Jetz setze ich das natürlich erstmal ein:

g(y) = $\begin{eqnarray*} \int_{y}^{2y}~ln (x-y)~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe zu dieser Aufgabe auch die Lösung, die ich jedoch nicht verstehe. Mein Problem ist denke ich, dass ich schon nicht richtig weiß, worum es bei dieser Aufgabe überhaupt geht:

Ich denke mir das so: Ich habe eine Funktion g(y), die mir sagt: Integriere erstmal ln(x,y), dann kriegst du irgendeine Stammfunktion raus, in der als Variablen x und y auftauchen. Jetzt muss man nur noch für die x die Integrationsgrenzen einsetzen und man erhält den Funktionswert.
Ist das soweit überhaupt richtig?

So wie ich das verstehe soll ich jetzt eine Darstellung für g(y) finden, in der kein Integral mehr vorkommt, also muss ich doch nur die Stammfunktion finden (denke ich mir). Aber wie mache ich das? In der Lösung der Aufgabe wurde eine Variablensubstitution gemacht, die ich nicht verstehe. Ehrlichgesagt verstehe ich auch nicht warum man das überhaupt machen muss. Warum kann man nicht wie gewohnt das integrieren?

04.10.2009, 18:04

Leopold

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RE: Verwirrendes Integral.

Zitat:

Original von Jimmy89
Ehrlichgesagt verstehe ich auch nicht warum man das überhaupt machen muss. Warum kann man nicht wie gewohnt das integrieren?

Dann tu das doch.

05.10.2009, 14:17

Jimmy89

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RE: Verwirrendes Integral.
Eine Stammfunktion zu ln(x) ist ja xln(x)-1.

Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{y}^{2y}~ln(x-y)~dx = \left[(x-y)ln(x-y)-1\right]_{y}^{2y} \end{eqnarray*}$

Aber ich bin mir eben nicht sicher, ob man das einfach so machen darf, weil ja y sowohl in den Integrationsgrenzen, als auch im Integranden vorkommt?!

05.10.2009, 14:34

mYthos

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RE: Verwirrendes Integral.

Zitat:

Original von Jimmy89
Eine Stammfunktion zu ln(x) ist ja xln(x)-1.
...

Nein. Leite einmal x ln(x) - 1 wieder ab.

mY+

05.10.2009, 15:31

Jimmy89

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Ach stimmt

xln(x) - x muss es heißen, dann krieg ich:

$\begin{eqnarray*} \int_{y}^{2y}~ln(x-y)~dx = \left[(x-y)ln(x-y)-(x-y)\right]_{y}^{2y} \end{eqnarray*}$

aber wenn ich jetzt die Grenzen einsetze:

y lny -y -[(y-y)*ln(y-y)-(y-y)]

dann weiß ich auch nicht was mit dem hinteren Teil passiert, also ab der eckigen Klammer, denn:
(y-y)=0 und ln(y-y)=ln(0)=?

05.10.2009, 17:22

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Es handelt sich hier nicht um ein Riemann-Integral, sondern um ein uneigentliches Riemannintegral. Und das muss man eben an der linken uneigentlichen Grenze $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to +0} t\cdot \ln(t) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen wissen ...

05.10.2009, 17:48

Leopold

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Während ich meinen Beitrag verfaßt habe, hat Arthur schon geantwortet. Damit das nicht umsonst war, hier meine Antwort:

Zunächst einmal: Die Stammfunktion stimmt jetzt. Aber sei dir darüber im klaren, daß es nur deshalb so geht, weil die innere Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = x-y \end{eqnarray*}$ linear ist mit Ableitung konstant 1. Wäre das eine andere Konstante oder wäre $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gar nichtlinear, könnte man die Stammfunktion nicht so einfach bilden.

Dann betrachte den Integranden $\begin{eqnarray*} f_y(x) = \ln(x-y) \end{eqnarray*}$ an der unteren Grenze $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ . Dort ist $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ definiert, und es folgt aus bekannten Eigenschaften der Logarithmusfunktion:

$\begin{eqnarray*} f_y(x) \to - \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to y \, , \ x > y \end{eqnarray*}$

Kurzum - das vorliegende Integral ist an der unteren Grenze uneigentlich. Wenn das Thema neu für dich ist, solltest du sehr vorsichtig vorgehen und so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \int_{y+t}^{2y} \ln(x-y)~\dd x \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ als genügend klein vorausgesetzt. Berechne dieses Integral mit Hilfe deiner Stammfunktion und untersuche, ob der Limes für $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ existiert. Wenn das der Fall ist, ist es gerechtfertigt, nachträglich $\begin{eqnarray*} \int_y^{2y} \ldots \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Der Limes ist dann der Wert des Integrals.

Ans Ziel kommst du nur, wenn dir der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} t \ln t \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ bekannt ist. Schau in deinen Unterlagen nach, ob der schon behandelt wurde. Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t = \operatorname{e}^{-R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ kannst du ihn gegebenenfalls auf die e-Funktion zurückspulen.

05.10.2009, 18:40

Jimmy89

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Ach an die uneigentlichen Integrale hatte ich da gar nicht mehr gedacht. Dann versuch ichs eben nochmal, ich hoffe der Ansatz ist jetzt so richtig:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to y} \int_{a}^{2y}~ln(x-y)~dx = \lim_{a \to y} \left[(x-y)ln(x-y)-(x-y)\right]_{a}^{2y} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ylny-y - \lim_{a \to y} \left[(a-y)ln(a-y)-(a-y)\right] = ylny-y -\lim_{a \to y}\left[(a-y)ln(a-y)\right] \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich dann versucht den Grenzwert mit der Regel von L'Hospital zu berechnen (hoffe das ist erlaubt?)

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0} t*lnt = \lim_{t \to 0} \frac{lnt}{\frac{1}{t} } = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{t}}{\frac{-1}{t²}} = \lim_{t \to 0} -t² = 0 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich als Gesamtergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to y} \int_{a}^{2y}~ln(x-y)~dx\ = y*lny - y \end{eqnarray*}$

Kann man das so gelten lassen?^^

EDIT von Calvin
Zeilenumbruch in LaTeX eingefügt, um überlange Zeile zu vermeiden

05.10.2009, 19:23

Leopold

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Zitat:

Original von Jimmy89
Kann man das so gelten lassen?^^

Hier Radio Eriwan: Im Prinzip, ja.

Bei der Limesberechnung wäre am Anfang und Ende der Rechnung eine zusätzliche Klammer um den Funktionsterm der Klarheit wegen wünschenswert. Auch solltest du korrekt kürzen. Aber vielleicht ist es ja nur ein Schreibfehler.

06.10.2009, 15:12

Jimmy89

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Ja, da hab ich mich wohl vertippt. Jedenfalls vielen Dank für euere Hilfe, hat mich echt weitergebracht!

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