Beweis für eine Wurzelungleichung

04.10.2009, 15:21

Spielor

Beweis für eine Wurzelungleichung

Hallo,
folgendes Problem:
Ursprünglich zu beweisen war:
/Wurzel(a)-Wurzel(b)/<=Wurzel(/a-b/)
/ - Betrag
mit a,b>=0
>= - größer/gleich
Ich hab die Ungleichung auf folgendes reduziert:
1.Fall:
b>=a, dann gilt:
Wurzel(b)-Wurzel(a)<=Wurzel(b-a)
2.Fall:
a>=b, dann gilt:
Wurzel(a)-Wurzel(b)<=Wurzel(a-b)

Jetzt muss ich aber noch beweisen, dass 1./2.Fall auch stimmt, ich habs durch normale Umformungen probiert, mit denen ich im 1.Fall auf
a<=b komme,
allerdings ist das keine äqivalente Umformung, da ich im Laufe der Umformung b kürze, die andere Richtung (mit b erweitern) ist ja nicht erlaubt (wenn äqivalent).
Irgendeine Ahnung? Vielleicht Induktion?
Ist mein erstes Forum, sorry wenn ich irgendwelche komischen Sachen machen sollte.
danke, Jan

04.10.2009, 15:35

tmo

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Auf den positiven reellen Zahlen, ist die $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ eine bijektive, monoton steigende Funktion. Also ist das quadrieren dort eine Äquivalenzration.

Mach das doch mal.

04.10.2009, 15:56

Spielor

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Ich bin mir nicht sicher was du meinst. Fallst du das Quadrieren beim Umformen meinst,
so hab ich vorher umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{b} - \sqrt{a} \leq \sqrt{b-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b - 2\cdot \sqrt{b} \sqrt{a} + a \leq b-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\cdot \sqrt{b} \sqrt{a} \leq -2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b} \sqrt{a} \geq a \cdot b \geq b^2 a \geq b \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, ich bin mir nicht sicher ob das so richtig ist.

EDIT: Latex verbessert (keine Zeilenschaltungen im Latexcode) (klarsoweit)

05.10.2009, 09:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Spielor
$\begin{eqnarray*} -2\cdot \sqrt{b} \sqrt{a} \leq -2b \end{eqnarray*}$

Falsch. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} -2\cdot \sqrt{b} \sqrt{a} \leq -2a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Spielor
$\begin{eqnarray*} \sqrt{b} \sqrt{a} \geq a \cdot b \geq b^2 a \geq b \end{eqnarray*}$ .

Wie du auf diese Ungleichungskette kommst, ist mir nicht klar.

Am besten beweist man Ungleichungen "vorwärts". Man nimmt also eine wahre Aussage und folgert daraus die behauptete Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a \leq b \Rightarrow \sqrt a \leq \sqrt b \Rightarrow a \leq \sqrt a \sqrt b \Rightarrow -2a \geq -2\sqrt a \sqrt b \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann klar.

Ist das Hochschulmathe? verwirrt

05.10.2009, 17:01

Spielor

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Hallo,
danke danke hab aber schon alles geklärt. Musste die Aufgabe heute abgeben.
Bei dem -2a hab ich mich verschrieben und das andere war so komisch, weil ich nicht an den Formeleditor gewohnt bin.
Das ist nicht ganz Hochschulmathemaik, sondern der Mathevorkurs.
Meine Frage war eigentlich unnötig, mir ist noch gestern aufgefallen, dass ich unnötig gerechnet habe.
trotzdem danke, Jan

05.10.2009, 17:19

mYthos

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Weder Hochschulmathe noch Analysis.

*** verschoben ***

mY+

06.10.2009, 15:33

Spielor

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Mir egal was das ist...ich hab jedenfalls die volle Punktzahl bekommen. Macht was ihr wollt mit dem Eintrag.

06.10.2009, 22:33

mYthos

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Sehr enttäuschend ist diese untergriffige Antwort, jetzt, nachdem du Hilfe erhalten hast. Du kannst aber sicher sein, dass die auch die letzte Hlfe für dich war.
böse

mY+

24.09.2013, 17:05

MMergl

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Warum nicht auch R-?
warum kann man davon ausgehen dass die Funktion nur aus der menge der Pos reellen Zahlen ist?

Wurzel(a) kann doch auch negativ werden, diese lösung ginge ja beim quadrieren verloren, weil man dann davon ausgeht dass x->x² nur pos reelle zahlen gibt.

Man müsste also zusätzlich noch berücksichtigen dass Wurzel(a) bz (b) negative werte annehmen können. Bitte korrigiert mich falls ich da falsch liege

24.09.2013, 17:11

Steffen Bühler

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RE: Warum nicht auch R-?

Zitat:

Original von MMergl
Wurzel(a) kann doch auch negativ werden

Nein, die Quadratwurzel einer Zahl a ist definiert als die nichtnegative Lösung der Gleichung x²=a. Quadratwurzeln sind also immer positiv.

Siehe z.B. hier.

Viele Grüße
Steffen

24.09.2013, 17:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMergl
Wurzel(a) kann doch auch negativ werden

Wir reden hier nicht über mehrwertige komplexe Wurzeln, sondern über die eindeutig definierte reelle Wurzelfunktion, die von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}_0^+ \end{eqnarray*}$ abbildet.

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