Konvergenz von Produkten

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Mehmet Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Produkten
Hallo,

wo finde ich Konvergenzkritrien von Produkten?

In meinem Fall muss ich nachweisen, dass für eine reelle nullfolge x_n existiert. habe aber keine idee wie ich das machen soll
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konergenz von produkten
Vielleicht solltest du erstmal den Logarithmus des Produkts betrachten.

Grüße Abakus smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage ist falsch. Mit Abakus' Tipp findet man, dass das Produkt für positive Nullfolgen genau dann konvergiert, wenn konvergiert. Das ist aber sicher nicht für jede Nullfolge der Fall. Probier es z.B. mal mit der Folge - da siehst du auch direkt, dass das Produkt divergiert.
Mehmet Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke. aber wieso kann ich einfach den logarithmus drauf anwenden?

Liegt das an der stetigtkeit des loarithmus?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Unter anderem, ja. Außerdem helfen natürlich noch die Logarithmengesetze.

Du kannst ja, weil eine Nullfolge ist, o.B.d.A. annehmen, dass stets gilt. Dann kannst du auf die "Partialprodukte"



den Logarithmus anwenden und kommst so zu

.

Wenn gegen konvergiert, so geht auch gegen - das ist die Stetigkeit des Logarithmus'. Wenn umgekehrt gegen konvergiert, so konvergiert gegen - das ist die Stetigkeit der Exponentialfunktion.
Mehmet Auf diesen Beitrag antworten »

Also so ganz verstehe ich nicht wie ich nun weitermachen muss.

Also ich habe gegeben: konvergiert gegen

zeigen muss ich: konvergiert

wie gehts nun weiter? ich muss irgendwie doch noch die 1 bei 1+x_k eliminieren

irgendwie ste ich aufm schlauch. ich weiß dsa es nicht mehr schwer ist, kriegs aber dennoch nicht hin unglücklich
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn jetzt die genaue Aufgabenstellung? Die am Anfang war ganz anders und außerdem war die Aussage falsch. Jetzt könnte die Aussage richtig sein, allerdings wäre ich für eine präzise Aufgabenstellung dankbar.
Mehmet Auf diesen Beitrag antworten »

zu zeigen ist, dass konvergiert, wenn x_n eine monoton fallende Nullfolge mit absolut konvergent
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön! smile

Wenn eine monoton fallende Nullfolge ist, für die konvergiert (daraus folgt schon die absolute Konvergenz, da alle Folgenglieder sowieso positiv sind), dann konvergiert auch

.

Versuche das mithilfe des Majorantenkriteriums bzw. mit hilfe des Grenzwertkriteriums zu zeigen.

Grenzwertkriterium: Zwei Reihen und mit positiven Gliedern, für die existiert und positiv ist, haben das gleiche Konvergenzverhalten.

PS: Bitte setze die Faktoren eines Produkts in Klammern, d.h.

.

Du würdest ja für das zweite Partialprodukt auch nicht schreiben oder?! Augenzwinkern
Mehmet Auf diesen Beitrag antworten »

könnte ich beispielsweise die ungleichung verwenden?

dann erhielte ich nach Voraussetzung
Mehmet Auf diesen Beitrag antworten »

im index soll k=1 stehen. schreibfehler!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die Kernidee. Allerdings ist Beschränktheit nach oben noch nicht alles, was man zur Konvergenz braucht ... Wasserdichter wird das ganze, wenn man für die Folge



der Partialprodukte (sagt man das so?) nachweist, dass sie monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.
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