Was es zu beweisen gibt bei Untervektorräumen/Unterräumen/Teilvektorräumen ; Punkt 1

04.10.2009, 16:41	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was es zu beweisen gibt bei Untervektorräumen/Unterräumen/Teilvektorräumen ; Punkt 1 Hallo nochmals. Es macht hier nicht wirklich Sinn, weiterzumachen, wenn nicht klar ist, was zu beweisen ist. Laut Internet und Wikipedia sind für einen Untervektorraum 3 Dinge zu beweisen. So auch ein Lehrer. Bei 2 und 3 sind sich beide Quellen einig. Jedoch bei 1 sagt das Internet: (1) 0 $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ Untervektorraum. Und bei 1 sagt der besagte Lehrer: (1) Untervektorraum $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ ; Untervektorraum ist nicht der Nullvektorraum. Tja, ich von meiner Seite her finde es grundlegend sehr wichtig, dass so etwas klar ist. Was sagt ihr dazu? Was ist nun richtig? Danke fürs Lesen.
04.10.2009, 16:48	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Teilraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sein, $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum. Dann ist zu zeigen: $\begin{eqnarray} U\neq \emptyset \end{eqnarray}$ , der Teilraum ist nichtleer. $\begin{eqnarray} \forall~ x,y\in U~:~x+y\in U \end{eqnarray}$ , Abgeschlossenheit unter Vektoraddition $\begin{eqnarray} \forall~x\in U, a \in K~:~a\cdot x \in U \end{eqnarray}$ , Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation. Die Schreibweise $\begin{eqnarray} 0 \subset U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \neq U \end{eqnarray}$ ergeben beide keinerlei Sinn. Nachtrag: Allenfalls $\begin{eqnarray} \{0\}\neq U \end{eqnarray}$ ist eine verständliche Schreibweise. Wobei ich nicht weiß, was es soll, allgemein auszuschließen, dass $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ der Nullraum ist, denn jeder Vektorraum enthält mindestens sich selbst und den Nullraum als Teilräume.
04.10.2009, 16:56	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist also überflüssig, zu zeigen, dass der Nullvektor $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ diesem Teilraum ist?
04.10.2009, 17:03	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt aus der Nichtleerheit und der Abgeschlossenheit unter der Skalarmultiplikation: Sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Teilraum, der die drei Bedingungen aus meinem Beitrag erfüllt. Dann existiert ein $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ , da U nichtleer ist. Die Null ist in jedem Körper vorhanden, daher gilt aufgrund der Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray} 0\cdot x=\vec 0 \in U \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec 0 \end{eqnarray}$ der Nullvektor ist.
04.10.2009, 17:11	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich glaube, ich verstehe das langsam. Wenn ein Untervektorraum zu beweisen ist, muss nicht bewiesen werden, dass dieser nicht leer ist, sondern nur: 1. $\begin{eqnarray} 0 \in W \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \forall (u,v) \in W \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (u+v) \in W \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \forall (u) \in W, \forall \lambda \in K \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (\lambda u ) \in W \end{eqnarray*}$
04.10.2009, 18:24	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} 0\in W \end{eqnarray}$ ist auch ok, denn daraus folgt ja wiederum $\begin{eqnarray} W\neq \emptyset \end{eqnarray}$ .
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04.10.2009, 18:24	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
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