Teilbarkeitsbeweis, Vollständige Induktion

04.10.2009, 16:45	Seb101	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsbeweis, Vollständige Induktion Hallo Ich hänge bei einer Aufgabe, wo ich mittels vollständiger Induktions folgendes beweisen soll: "Für alle n e IN ist n^3 + 5n durch 6 teilbar Hinweis: Verwenden Sie die Tatsache, dass die Summe zweier Zahlen, die beide durch 6 teilbar sind, ebenfalls durch c teilbar ist" Irgendwie komme ich nicht drauf, wie ich das beweisen soll. Wie kann man teilbarkeit zeigen? Und das noch mittels Induktion (worin ich sehr wenig Erfahrung habe). Herzlichen Dank
04.10.2009, 17:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach doch erstmal den Induktionsanfang. Im Induktionsschritt musst du den Term so umformen dass ein Teil wegen der Induktionsvorraussetzung durch 6 teilbar ist und einer weil 6*x dasteht
04.10.2009, 17:24	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mir immer wieder ein Rätsel, warum man darauf ne Induktion loslassen soll... In der Darstellung n(n^2+5) erkennt man sofort, dass die Zahl durch 2 (Eine von den beiden Zahlen ist gerade) und 3 (1 ist der einzige quadratische Rest modulo 3, also n^2+5 durch 3 teilbar, wenn es n nicht ist) teilbar ist.
04.10.2009, 17:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil die armen kleinen Studienanfänger dazu gezwungen werden. Ich hatte damals auch eine Alternativlösung abgeben und Punktabzug bekommen Meine Alternativlösung würde so aussehen: $\begin{eqnarray} n^3+5n \equiv n^3-n = n(n-1)(n+1) \end{eqnarray}$ und dem sieht man es noch direkter als deiner Argumentation an
04.10.2009, 17:40	Seb101	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, die armen Studienanfänger ;-).... Die Aufgabe ist dazu da, die Vollständige Induktion zu festigen und ist auch die erste Aufgabe mit der Vollständigen Induktion. Um ein Bisschen zu unterstreichen, dass ich ziemlich ahnungslos bin. Ist ja schön zu wissen, dass es bessere Wege zum beweisen gibt, jedoch weiss ich jetzt immernoch nicht, wie ich das mit Induktion beweisen soll.
04.10.2009, 17:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Induktionsanfang kannst du auf jeden Fall schon mal machen. Zeig uns den doch einfach mal. Dann gehts weiter.
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04.10.2009, 18:21	Seb101	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja der Induktionsanfang... für n = 1 n^3 + 5n = 1^3 + 5 = 6 . Also durch 6 teilbar. So jetzt weiss ich mehr :P wenn ich jetzt im induktionsschritt mal für n+1 anschaue: (n+1)^3 + 5(n+1) = (n+1)^3 +5n + 5 = (n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n + n +1) + 5n + 5 `= (n^3 +5n) + 3n^2 +3n +6 hmm.. wo liegt mein fehler?
04.10.2009, 18:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte da ein Fehler sein. Der einzige Term der noch nicht offensichtlich durch 6 teilbar ist ist eben 3n^2+3n Das kann man aber umformen zu 3n(n+1) und da sieht man die Teilbarkeit durch 6 dann auch direkt. Und schon fertig
04.10.2009, 18:54	Seb101	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, wie erklärt man formal korrekt, dass 3n(n+1) durch 6 Teilbar sein muss? Sorry für die blöden Fragen. Und danke schonmal für die Hilfe.
04.10.2009, 18:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja n und n+1 sind aufeinanderfolgende Zahlen. Davon muss eine eben durch 2 teilbar sein.
04.10.2009, 18:58	Seb101	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, logisch, alles klar... Herzlichen Dank für die Mühe. Einen schönen Abend noch.

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