Summe mit Summenzeichen darstellen

04.10.2009, 16:49

ronin11

Summe mit Summenzeichen darstellen

Hallo ich habe zur zeit in Mathe diese schöne Thematik mit dem Summenzeichen und meine Aufgabe ist es Summen mit dem Summenzeichen darzustellen...nur komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter und würde mich über einen Lösungsansatz freuen!

bei a)
1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 = 1 / i (i+1) -> i =1 bis 4

hoffe das ist richtig sonst hab ich es anscheinend nicht verstanden!
und jetzt die Aufgabe an der ich hänge..

1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + 1/32

eigentlich müsste es ja so hier sein

1/ 2^i -> i=1 bis 5

doch hier bekomme ich = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32

wie schaff ich es das es an manchen stellen minus ist?

danke für die Hilfe im voraus!

noch eine zusätzliche Frage:
Ich habe bemerkt das es öfters mehrere Möglichkeiten gibt eine Summation mit dem Summenzeichen darzustellen, ist das flasch oder gibt es tatsächlich immer mehrere Varianten?

DANKE!

04.10.2009, 16:56

Sonnenschein1

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Zitat:

wie schaff ich es das es an manchen stellen minus ist?

Wechselnde (alternierende) Vorzeichen bekommst du, in dem du einen Trick mit der -1 anwendest. So ändert sich bei jedem Summand das Vorzeichen.

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} (-1)^1=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^3=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^4=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$

Dies kannst du in deine Summe einbauen.
So ist z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4~(-1)^k*k =-1+ 2 -3+ 4 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Sonnenschein1

04.10.2009, 17:18

Sonnenschein1

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oh, Editfenster war schon zu.. deshalb noch ein neuer Beitrag.

Zitat:

bei a)
1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 = 1 / i (i+1) -> i =1 bis 4

Am besten verwendest du den Formeleditor rechts um solche Brüche zu schreiben. Dann fügst du es zwischen latex und /latex in eckingen Klammern ein. Das erhälst du, indem du oben auf das Zeichen mit f(x) klickst. Du kannst auch meinen Beitrag kopieren um zu sehen, wie man das schreibt.

Ich nehme einmal an du meinst das hier?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\frac{1}{4*5}=\sum_{i=1}^4~\frac{1}{i*(1+i)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

hoffe das ist richtig sonst hab ich es anscheinend nicht verstanden!

Ja, das stimmt.

Zitat:

Ich habe bemerkt das es öfters mehrere Möglichkeiten gibt eine Summation mit dem Summenzeichen darzustellen, ist das flasch oder gibt es tatsächlich immer mehrere Varianten?

Ich nehme an, dass das stimmt. Da bin ich mir allerdings nicht ganz sicher. Warten wir, bis jemand kommt, der sich besser auskennt Augenzwinkern

04.10.2009, 20:38

ronin11

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vielen vielen Danke für die Hilfe!

hui das mit der schreibweise muss ich noch ein wenig austeste Augenzwinkern

ich habs probiert bei Aufgabe b) aber ich scheitere trotzdem an den Vorzeichen

ich wette ich hab nur einen simplen Fehler...vlt könntest du mir schreiben wie du das gelöst hast? Der Trick mit dem (-) funzt aber es startet bei mir nicht positiv...

DANKE DANKE

04.10.2009, 20:45

guest09

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Zitat:

Original von ronin11
ich wette ich hab nur einen simplen Fehler...vlt könntest du mir schreiben wie du das gelöst hast? Der Trick mit dem (-) funzt aber es startet bei mir nicht positiv...

den exponenten von (-1) um 1 erhöhen/erniedrigen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5(-1)^{i+1}\frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$

04.10.2009, 20:48

guest09

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Zitat:

Original von guest09

Zitat:

Original von ronin11
ich wette ich hab nur einen simplen Fehler...vlt könntest du mir schreiben wie du das gelöst hast? Der Trick mit dem (-) funzt aber es startet bei mir nicht positiv...

den exponenten von (-1) um 1 erhöhen/erniedrigen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5(-1)^{i+1}\frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$

man könnt es noch "vereinfachen":

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5(-2)^{-i}(-1) \end{eqnarray*}$

(-1) könnt man auch noch vor das Summenzeichen schreiben...

04.10.2009, 21:10

Sonnenschein1

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ja, guest 09 hat das schon richtig geschrieben.

Du hast ja $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5~\frac{1}{2^i}= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Formel hast du in deinem ersten Beitrag ja schon richtig erkannt.

Wenn du jetzt den Trick mit dem Minus anwendest, erhälst du:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5~(-1)^i*\frac{1}{2^i} =-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} -\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

jetzt sind nur noch alle Vorzeichen falsch. Also multiplizieren wir das ganze mit (-1) dadurch drehen sich alle Vorzeichen um.

Dann erhälst du:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5~-(-1)^i*\frac{1}{2^i} =+\frac{1}{2} - \frac{1}{4} +\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=- \sum_{i=1}^5~(-1)^i*\frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$

Das Minus kann man also auch vor das Summenzeichen ziehen.

Den gleichen Effekt erhälst du, wenn du die Hochzahl um eins erhöhst, wie guest09 vorgeschlagen hat.

Also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^5~(-1)^{i+1}*\frac{1}{2^i} =+\frac{1}{2} - \frac{1}{4} +\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32} \end{eqnarray*}$

Denn dann erhälst du für i=1 den ersten Summand
$\begin{eqnarray*} (-1)^{1+1}*\frac{1}{2^{1}}= (-1)^2*\frac{1}{2}=+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Analog kannst du das auch für alle anderen Summanden verifizieren.

05.10.2009, 08:17

ronin11

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vielen Dank nochmals! das geht ja ruckzuck hier!
hat bei mir jetz click gemacht! Die Lösung leuchtet ja hinterher meistens ein Augenzwinkern

die Frage ob mehrere Möglichkeiten existieren ist ja hiermit dann auch beantwortet xD

tolle Community!

18.04.2010, 16:57

dieAnna

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Hallo,

der Tipp mit dem $\begin{eqnarray*} (-1)^{i} \end{eqnarray*}$ ist super.

Gibt es vielleicht noch mehr so allgemeine Tipps?

Ich schau immer zuerst, ob alle Zahlen durch eine gewisse Zahl teilbar sind, oder ob 2er Potenzen etc. sind.

LG, Anna

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