Spur (Körper) gleichverteilt

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Spur (Körper) gleichverteilt
Hallo

Schon wieder eine Frage zu den endlichen Körpern und zur Spur. Im Buch, das ich lese, wird die Spur als lineare Abbildung vom (erweiterten) Körper F auf den (Basis-)Körper K dargestellt. Den Beweis dafür habe ich bereits gemacht, war ja auch eher einfach.

Weiter steht dann dort, dass die Elemente von K alle gleich oft als Bild dieser Abbildung vorkommen. Diese Tatsache würde ich nun auch gerne beweisen. Dazu wollte ich an einen Beweis anknüpfen, der im Text erbracht wird, nämlich: Jedes Element von K liegt im Bild der Abbildung.

Der Autor begründet dies damit, dass die Spur ein Polynom vom Grad ist und damit maximal Nullstellen haben kann. Da aber F Elemente habe, muss es Elemente in F geben, die nicht im Kern liegen. So weit ist das sehr einleuchtend (nicht, dass ich selbst auf diesen Ansatz gekommen wäre, aber ich kann ihn nachvollziehen).

Dann schreibt der Autor nur: Da K bezüglich Multiplikation abgeschlossen ist, ist gezeigt, dass alle Elemente von K im Bild der Spur liegen. Dieser Sprung ist mir dann aber etwas zu gross und ich habe versucht, mir das so zu erklären:

Ich betrachte F als m-dimensionalen Vektorraum über K. Sei a ein Element, das nicht im Kern der Spur liegt. Dann habe ich damit ein Element von K im Bild, ich nenne es b. Nun kann ich ja durch Skalarmultiplikation von a mit allen Elementen b_i von K weitere Elemente von F erzeugen, und deren Bild ist dann jeweils , weil ja die Spur eine lineare Abbildung ist.

Weiter ist ist für alle , was man ja auch in der Verknüpfungstabelle sofort sieht. Bildlich gesprochen durchlaufe ich damit die ganze Zeile b der Multiplikationstabelle, also kommt jedes Element von K genau einmal an die Reihe.

Ist das so richtig interpretiert?

Kann ich von da aus jetzt mit Induktion über den Erweiterungsgrad m weiterfahren, um zu zeigen, dass alle Elemente von K immer gleich oft "an die Reihe" kommen?


Danke!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation des Autors verstehe ich so direkt auch nicht.
Wir wissen aber dass das Bild von nicht-trivial ist. Da aber eine K-lineare Abbildung ist muss somit das Bild mindestens 1-dimensional sein. Also gilt . Damit ist die Abbildung surjektiv.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Danke kiste. (schon wieder)

Das tönt sehr einleuchtend. Ich nehme an, mit der Nullstellen-Argumentation wollte der Autor auch zum Ausdruck bringen, dass das Bild mindestens 1-dimensional sei muss.

Woher kommt es eigentlich, dass viele Autoren dazu neigen, alles als "sofort ersichtlich" und "überlassen wir dem Leser" abzutun?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann ich natürlich nur raten.
Viele Argumente wiederholen sich natürlich, und in einem Lehrbuch will man nicht 10mal dasselbe dann reinschreiben. Das würde das Buch wohl sehr aufblähen.
Außerdem hat man es dann auch wirklich verstanden falls man den Hinweisen "überlassen wir dem Leser" nachkommt.
Zuletzt sind diese Dinge auch offensichtlich wenn man sich schon länger damit beschäftigt Big Laugh
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das hat natürlich schon was. Ist wohl manchmal auch subjektiv, was man weglassen sollte und was nicht.

Hast du mir zur Frage der "Gleichverteilung" noch einen Tipp? (Kann die Induktion über den Erweiterungsgrad m zum Ziel führen)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten die Spur gar nicht in unserer Algebra-Vorlesung unglücklich . Also fällt mir leider grad nichts ein, werde aber mal bissel drüber nachdenken.
Was schreibt der Autor denn dazu?
 
 
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Frei übersetzt schreibt er: Man kann zeigen, dass die Spur auf jedes Element von K gleich oft abbildet.

Dann kommt direkt ein Lemma: Für ein beliebiges gilt:


Der Beweis dafür ist dann eben eine Übung.

Das Original ist über Google Books zu erreichen: Finite fields and applications Von Gary L. Mullen,Carl Mummert; Seite 17
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht so schwierig:

Sei und die Anzahl der Urbilder dieses Elements unter der Spurabbildung. Dann hat das Polynom Grad und damit höchstens verschiedene Nullstellen, d.h. es ist . Allerdings gibt es in auch nur Elemente. Man bekommt also

.

Was folgt daraus?

Beachte übrigens, dass für jedes und auch gilt. Wenn man bereits weiß, dass endliche Körpererweiterungen stets einfach sind, ergibt sich daraus noch eine leicht andere Beweismethode.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! (Naja, nicht so schwierig ist relativ.... ich komm mir ein bisschen blöd vor, immer die gleichen Fragen zu stellen, aber ich denke, das liegt daran, dass ich in diesem Thema noch ganz am Anfang stehe). Immerhin glaube ich aber, deinen Beweis verstanden zu haben:

- es ist ; auf beiden Seiten , was zur Gleichung führt. Diese kann aufgrund des Grads maximal die von dir genannten Lösungen haben, also

- wenn man für jedes Element des Basiskörpers die Anzahl Urbilder addiert, hat man genau die Anzahl Elemente des erweiterten Körpers, daher der linke Teil der Ungleichung

- und weil für jedes Element des Basiskörpers die Anzahl Urbilder kleiner-gleich ist, gilt auch , und die rechte Seite kann man ja sofort zu auflösen

Daraus folgt dann, dass ist.

Ich wäre jetzt versucht, zu schreiben, dass damit automatisch für alle gilt. Aber mir wäre wohler, wenn ich noch irgendwie begründen könnte, dass für alle gleich gross ist.


Die Gleichheit, die du im letzten Satz ansprichst, habe ich beim Frobenius-Homomorphismus gesehen; sie kam im Beweis vor, dass die Spur tatsächlich eine Abbildung F -> K ist. Sofern ich mich richtig erinnere, natürlich.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp Imhof
Daraus folgt dann, dass ist.

Ich wäre jetzt versucht, zu schreiben, dass damit automatisch für alle gilt. Aber mir wäre wohler, wenn ich noch irgendwie begründen könnte, dass für alle gleich gross ist.

Nicht nur das, es folgt nämlich wirklich sofort, dass bei allen Termen Gleichheit gilt, denn angenommen, es gibt nur ein einziges , für das ist, so würde ja, da für alle anderen immer noch gilt, die Ungleichung



folgen - Widerspruch! Also muss für jedes die Gleichung erfüllt sein.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Schuppen, Augen.... Klar! Vielen Dank für die Geduld!
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