Gammafunktion, warum uneigentliches Integral an bestimmten Stellen?

05.10.2009, 12:26

Sonnenschein1

Gammafunktion, warum uneigentliches Integral an bestimmten Stellen?

Hallo,
ich bin gerade bei der Gammafunktion.
Hier das was wir zur Definition der Gammafunktion aufgeschrieben haben:
[attach]11369[/attach]
Was ich nicht verstehe, ist warum man da eine Fallunterscheidung macht für das uneigentliche Integral.

Erst mal kurz zum uneigentlichen Integral. Habe ich das richtig verstanden, dass ein uneigentliches Integral ein Integral ist, dass entweder unendlich in seinen Integrationsgrenzen stehen hat (also in Richtung der x-Achse unendlich weit geht) oder eine Polstelle besitzt (wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ also in seinen Funktionswerten unendlich weit geht)?

Ist es dabei übrigens wichtig, dass auch die Fläche unter der Kurve unendlich groß wird, oder ist das für ein uneigentliches Integral nicht wichtig?

Jetzt zurück zur Gammafunktion.
Ich weiß, dass sie so aussieht:
http://images.google.de/imgres?imgurl=ht...sa%3DN%26um%3D1

Da wir sie ja nur für a> 0 definiert haben, ist alles links der y-Achse uninteressant.(darf man das einfach, wenn sie doch links von der x-Achse noch weitergeht??)

Am Bild erkennt man ja jetzt, dass die Funktionswerte für x gegen 0 unendlich groß werden, also hätten wir ein uneigentliches Integral an der Stelle 0.

Und für x gegen unendlich gehen wir ja unendlich weit, also haben wir auch da ein uneigentliches Integral.

Wäre nett, wenn mir jemand sagt, ob ich mir das so richtig überlegt habe. Ich bin mir da nämlich noch ziemlich unsicher...
Und warum man die Fallunterscheidung überhaupt braucht. Ich sehe hier nämlich keinen Anlass dazu.

Gruß,
Sonnenschein1

05.10.2009, 14:02

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade ist bei mir noch eine zusätzliche Frage aufgetaucht und zwar:

Wann konvergiert die Gammafunktion?

Stimmt es, dass sie nie konvergiert, da sie immer divergiert? Das hätte ich jetzt mal aus dem Funktionsgraph der Funktion geschlossen...

05.10.2009, 14:23

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was ich nicht verstehe, ist warum man da eine Fallunterscheidung macht für das uneigentliche Integral.

Ich bin mir nicht sicher, ob ihr das wirklich als Fallunterscheidung deklariert habt oder ob ihr diese Sache vielmehr nur festgestellt habt.

Zitat:

Erst mal kurz zum uneigentlichen Integral. Habe ich das richtig verstanden, dass ein uneigentliches Integral ein Integral ist, dass entweder unendlich in seinen Integrationsgrenzen stehen hat (also in Richtung der x-Achse unendlich weit geht) oder eine Polstelle besitzt (wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ also in seinen Funktionswerten unendlich weit geht)?

Ja.

Zitat:

Ist es dabei übrigens wichtig, dass auch die Fläche unter der Kurve unendlich groß wird, oder ist das für ein uneigentliches Integral nicht wichtig?

Nein. Wenn $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty~f(x)~\dd x=\lim_{r\to\infty}\int_0^r~f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$ existiert, bedeutet das ja gerade, da der Flächeninhalt endlich ist, nämlich gerade der Grenzwert.

Zitat:

Da wir sie ja nur für a> 0 definiert haben, ist alles links der y-Achse uninteressant.(darf man das einfach, wenn sie doch links von der x-Achse noch weitergeht??)

Man bezeichnet eine Funktion als Gammfunktion für gewöhnlich nur für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ , so wird sie entweder einen anderen Namen haben, oder auf die Erweiterung hingewiesen, bzw. "erweiterte Gammfunktion" heißen.

Zitat:

Am Bild erkennt man ja jetzt, dass die Funktionswerte für x gegen 0 unendlich groß werden, also hätten wir ein uneigentliches Integral an der Stelle 0. Und für x gegen unendlich gehen wir ja unendlich weit, also haben wir auch da ein uneigentliches Integral.

Achtung! Das ist eine Funktion in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Du musst das u.e. Integral selber als Funktion verstehen, für verschiedene $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Gerade ist bei mir noch eine zusätzliche Frage aufgetaucht und zwar: Wann konvergiert die Gammafunktion?

Sie konvergiert für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Stimmt es, dass sie nie konvergiert, da sie immer divergiert? Das hätte ich jetzt mal aus dem Funktionsgraph der Funktion geschlossen...

Nein.

05.10.2009, 14:53

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

super vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Zitat:

Ich bin mir nicht sicher, ob ihr das wirklich als Fallunterscheidung deklariert habt oder ob ihr diese Sache vielmehr nur festgestellt habt.

Ach so, ja das würde die Sache erklären...

Zitat:

Zitat:
Ist es dabei übrigens wichtig, dass auch die Fläche unter der Kurve unendlich groß wird, oder ist das für ein uneigentliches Integral nicht wichtig?

Nein. Wenn $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty~f(x)~\dd x=\lim_{r\to\infty}\int_0^r~f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$ konvergiert, bedeutet das ja gerade, da der Flächeninhalt endlich ist, nämlich gerade der Grenzwert.

Wenn also das uneigentliche Integral konvergiert, ist der Flächeinhalt endlich.
Dann müsste der Flächeninhalt ja auch unendlich sein, wenn das uneigentliche Integral divergiert...

Ich erinnere mich dunkel an uneigentliche Integrale, die wir mal in der Schule hatten, und da sahen die Funktionsgraphen von zwei verschiedenen Integralen ziemlich ähnlich aus, sie gingen zwar für x gegen unendlich immer mehr gegen 0, erreichten diese aber nie. Und dann konnte man bei dem einen den Flächeninhalt abschätzen, er war also endlich, beim anderen aber nicht... Ich weiß die Funktionen jetzt leider nicht mehr, aber das hat mich ziemlich verwirrt.

Also nochmals: Ich muss den Flächeninhalt nicht betrachten, wenn ich wissen will, ob ein Integral uneigentlich ist oder nicht, richtig?

Zitat:

oh ja, das stimmt.. Jetzt wirds aber kompliziert... Wie kann ich mir das denn als Funktion in a vorstellen? Ich sehe ja nur, wie sich die Funktion für ein festes a für verschiedene x verhält. Also müsste ich mehrere Funktionen für verschiedene as zeichnen.

Zitat:

Sie konvergiert für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie komme ich dann auf die Konvergenz? Das kann ich mir irgendwie noch gar nicht richtig vorstellen.
Angenommen ich habe jetzt viele verschiedene Funktionen für verschiedene as gezeichnet. Dann werden alle ja irgendwie ähnlich aussehen, also so leicht parabelförmig und nach oben offen. Alle gehen für x gegen 0 gegen unendlich und alle gehen für x gegen unendlich gegen unendlich. Nur sind sie wahrscheinlich unterschiedlich tief, bzw etwas anders geschwungen. Dann muss ich ja Konvergenz von Funktionen gegen eine "Grenzfunktion" betrachten, oder?

Stimmt das so?

Hier kann ich mir auch noch nicht vorstellen, wie sich dann Konvergenz und Divergenz unterscheiden...

06.10.2009, 20:19

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also nochmals: Ich muss den Flächeninhalt nicht betrachten, wenn ich wissen will, ob ein Integral uneigentlich ist oder nicht, richtig?

Richtig. Uneigentlichkeit hat erstmal nichts mit dem Flächeninhalt zu tun. Besitzt ein uneigentliches Integral einen Grenzwert, so ist dieser gleich dem Flächeninhalt.

Zitat:

Im Prinzip berechnest du für jedes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ das u.e Integral und erhälst so einen Wert.

Zitat:

Angenommen ich habe jetzt viele verschiedene Funktionen für verschiedene as gezeichnet. Dann werden alle ja irgendwie ähnlich aussehen, also so leicht parabelförmig und nach oben offen. Alle gehen für x gegen 0 gegen unendlich und alle gehen für x gegen unendlich gegen unendlich. Nur sind sie wahrscheinlich unterschiedlich tief, bzw etwas anders geschwungen. Dann muss ich ja Konvergenz von Funktionen gegen eine "Grenzfunktion" betrachten, oder? Stimmt das so? Hier kann ich mir auch noch nicht vorstellen, wie sich dann Konvergenz und Divergenz unterscheiden...

Hm, eher nicht. Schau dir meinen Satz eins drüber an.

Man kann zeigen, das die Gammafunktion für alle $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ einen Wert hat, also dass das u.e. Integral für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert hat.

Gruß

Neue Frage »

Antworten »

Gammafunktion, warum uneigentliches Integral an bestimmten Stellen?

Verwandte Themen