Stetigkeitsaufgabe

05.10.2009, 17:23

Caskuda

Stetigkeitsaufgabe

Hab hier eine neue Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet :

lim
x-->0

$\begin{eqnarray*} (1+tan\sqrt{x})^\frac{1}{2x}=(1+\frac{sin\sqrt{x}}{cos\sqrt{x}} \frac{sin\sqrt{x}}{cos\sqrt{x}})^\frac{1}{2x}=(\frac{cos^2\sqrt{x}+sin^2\sqrt{x}}{cos^2\sqrt{2}})^\frac{1}{2x}=(\frac{1}{1-sin^2\sqrt{x}})^\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

im weiteren würde ich das ganze mit $\begin{eqnarray*} \frac{sin^2\sqrt{x}}{sin^2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ potenzieren und erzhielte

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1-sin^2\sqrt{x}})^\frac{sin^2\sqrt{x}}{2x*sin^2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

wäre hier l`Hopital der richtige Weg zur weiteren Lösung?

Leider ist in meinem Übungsbuch nur das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Gibt es eigentlich ein spezielles Unterforum nur für Aufgaben? Nicht dass ich hier in die falsche Ecke poste.

Danke für weitere Denkanstöße.

05.10.2009, 17:47

klarsoweit

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RE: Stetigkeitsaufgabe

Zitat:

Original von Caskuda
$\begin{eqnarray*} (1+tan\sqrt{x})^\frac{1}{2x}=(1+\frac{sin\sqrt{x}}{cos\sqrt{x}} \frac{sin\sqrt{x}}{cos\sqrt{x}})^\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

Wie hast du da umgeformt? verwirrt

Und ja, das ist hier das richtige Unterforum für sowas.

06.10.2009, 00:29

Caskuda

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Ups, zuviel nach Tech-Fehlern gesucht, und dann nicht gesehen, dass ichs nicht komplett reingetippt hatte. Schande über mein Haupt.

$\begin{eqnarray*} (1+tan^2\sqrt{x})^\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ hätte es heißen sollen.

Für die Umforumung hatte ich folgendes genutzt.

1.) $\begin{eqnarray*} tan^2x=tanx*tanx \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} tanx=\frac{sinx}{cosx} \end{eqnarray*}$

06.10.2009, 09:18

klarsoweit

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RE: Stetigkeitsaufgabe
Du solltest wissen, daß $\begin{eqnarray*} 1 + tan^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ ist. Dann brauchst du dich nur noch um $\begin{eqnarray*} \left( cos^2(\sqrt x) \right)^{\frac{1}{2x}} \end{eqnarray*}$ zu kümmern. Beachte dazu die Regel: $\begin{eqnarray*} a^x = e^{ln(a) \cdot x} \end{eqnarray*}$ .

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