Banachscher Fixpunktsatz

05.10.2009, 18:46

Sonnenschein1

Banachscher Fixpunktsatz

Hallo,

Ich bin gerade beim Banachschen Fixpunktsatz. Dieser besagt ja, dass wenn wir uns in einem vollständigen metrischen Raum befinden mit einer Kontraktion als Abbildung folgt, dass genau ein Punkt aus dem metrischen Raum existiert, der auf sich selbst abgebildet wird.

Ich habe schon ein sehr anschauliches Beispiel in Wikipedia gefunden:

"Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt."

Jetzt überlege ich mir gerade, ob es noch weitere anschauliche Beispiele gibt, die den Sachverhalt verdeutlichen.

Ich wähle also irgenwelche zwei Punkte in meinem metrischen Raum und lasse die Abbildung Kontraktion darauf wirken. Dann landet jeder Punkt (egal auf welchem Weg) irgenwo anders. Die einzige Voraussetzung ist, dass der Abstand zwischen den Bildpunkten kleiner ist als der zwischen den Ausgangspunkten.

Nun kann ich das unendlich oft wiederholen.

Stimmt es, dass ich dann ganz am Ende nur noch einen Punkt habe, oder nähere ich mich nur einem Punkt an?

Ich hab mal ein Bild angehängt, um die Vorgehensweise zu verdeutlichen... (ich hoffe man kanns erkennen, hab ich selbst gemalt Augenzwinkern

)

[attach]11371[/attach]

Also kann ich direkt bei jeder Kontraktion einen Fixpunkt finden, oder erst nachdem ich mich ihm in endlich vielen Schritten angenähert habe?

Jetzt noch ein anderes Beispiel:
Ich spiegele jeden Punkt aus dem metrichen Raum M an einem Punkt F, allerdings, soll der Abstand zwischen Ausgangspunkt und Spiegelpunkt = 2* Abstand(Ausgangspunkt, Endpunkt) sein, sodass die Kontraktionseigenschaft auch erfüllt ist.

[attach]11372[/attach]

Dann ist nur der Punkt F selbst der Fixpunkt, oder?

Denn jeder andere Punkt aus der Ebene wird durch diese Abbildung ja auf einen Punkt abgebildet, der nicht er selbst ist.

Habe ich das richtig verstanden?

Würde mich auch noch über andere Beispiele / Links / Erklärungen zum Fixpunktsatz freuen smile

Gruß,
Sonnenschein1

05.10.2009, 22:15

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Die einzige Voraussetzung ist, dass der Abstand zwischen den Bildpunkten kleiner ist als der zwischen den Ausgangspunkten.

Das ist falsch. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:M\to M \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y))<d(x,y) \end{eqnarray*}$ erfüllt, ist im Allgemeinen keine Kontraktion! Betrachte z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f: (0,1)\to (0,1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist stets

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=\frac{1}{2}\cdot |x+y|\cdot |x-y|<|x-y| \end{eqnarray*}$ ,

allerdings besitzt diese keinen Fixpunkt und es ist auch keine Kontraktion! Mache dir selbst klar, warum das so ist.

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Also kann ich direkt bei jeder Kontraktion einen Fixpunkt finden, oder erst nachdem ich mich ihm in endlich vielen Schritten angenähert habe?

Was meinst du mit "finden". Jede kontraktive Abbildung hat einen Fixpunkt - das ist eine Eigenschaft der Funktion, die erstmal total unabhängig von irgendwelchen Iterationsfolgen oder Ähnlichem ist. Falls man den Fixpunkt nicht exakt bestimmen kann, wird man ihn in der Regel dann natürlich mithilfe der Iterationsfolge annähern - das wäre aber der praktische Teil, der mit der Theorie nicht so viel zu tun hat.

Zitat:

Original von Sonnenschein1
allerdings, soll der Abstand zwischen Ausgangspunkt und Spiegelpunkt = 2* Abstand(Ausgangspunkt, Endpunkt) sein

Das ergibt irgendwie keinen Sinn. Was soll doppelt so groß sein wie was?

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Dann ist nur der Punkt F selbst der Fixpunkt, oder?

Wenn du eine zentrische Streckung mit Streckfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ meinst, dann ja.

06.10.2009, 15:39

Sonnenschein1

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Zitat:

Wenn du eine zentrische Streckung mit Streckfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ meinst, dann ja.

Ja, das meine ich... Habs nur nicht geschafft, das formal richtig auszudrücken.

Zitat:

Ja, also dein Beispiel habe ich nachvollzogen. Das stimmt. Vielleicht ist das keine Kontraktion, da ich dieses alpha noch reinbringen muss das strikt zwischen 0 und 1 liegt?

$\begin{eqnarray*} d(f(x), f(y) \leq \alpha d(x,y) \end{eqnarray*}$

Das heißt ich bringe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot |x+y| \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite. Ich darf ja dadurch teilen, da es stikt positiv ist, das Ungleichheitszeichen ändert sich dabei also nicht.

Nun habe ich die gewünschte Form mit $\begin{eqnarray*} \alpha = 2* \frac{1}{ |x+y|} \end{eqnarray*}$
und dieses alpha liegt nicht für alle x,y aus M strikt zwischen 0 und 1. (wenn ich z.B. für x = 0,5 und für y =0.8 wähle. Dann wäre alpha nämlich ungefähr 1,5 und somit größer als 1)
Deshalb ist das Beispiel keine Kontraktion.

Stimmt das so?

07.10.2009, 13:29

Mathespezialschüler

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Nein, was du da machst, ist nicht wirklich sinnvoll. Es geht nicht darum, das auf die andere Seite zu bringen. Du hast

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=\frac{1}{2}\cdot |x+y|\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

und willst das kleiner als $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ bringen. Es geht also eher um

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot |x+y|\leq\alpha \end{eqnarray*}$ .

Aber selbst dann wäre etwas wie

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{2}\cdot |x+y| \end{eqnarray*}$

nicht hilfreich, denn das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ darf nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen. Die Ungleichung muss mit einer festen Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich gelten.

In obigem Beispiel ist das Problem, dass du keine Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha<1 \end{eqnarray*}$ finden wirst, für die

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot |x+y|\leq\alpha \end{eqnarray*}$

gilt. Wenn man nämlich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ immer näher bei Eins wählt, kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot |x+y| \end{eqnarray*}$ dem Wert Eins auch beliebig nahe, also kann es kein solches $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geben, obwohl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot |x+y| \end{eqnarray*}$ immer kleiner als Eins ist.

Das ist ein wesentliches Detail, welches an einigen Stellen in der Analysis auftritt und dem man sich bewusst sein sollte.

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