Ableitungen: Frechet-Ableitung, Richtungsableitung, schwache Ableitung, Gateaux-Abeitung |
| 05.10.2009, 18:59 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ableitungen: Frechet-Ableitung, Richtungsableitung, schwache Ableitung, Gateaux-Abeitung Ich habe noch ziemlich Probleme bei den Ableitungen. Also ich kenne die Ableitungen aus der Schule und kann auch mit ihnen arbeiten. Aber jetzt gibt es plötzlich - Frechet-Ableitung - Gateaux-Ableitung - schwache Ableitung - Richtungsableitung -partielle Ableitung Jetzt bin ich etwas durcheinander. Wie hängen denn die einzelnen Ableitungen zusammen? Welche ist denn die Ableitung, die ich aus der Schule kenne (wenn es überhaupt eine von denen hier ist). Wie kann ich sie mir vorstellen. Und warum brauche ich überhaupt so viele verschiedene Ableitungen? Ja, ich weiß, viele Fragen auf einmal... Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich schreibe einmal auf, was ich glaube zu wissen 
- Die schwache Ableitung ist gleich der Gateaux-Ableitung - Die Frechet-Ableitung ist die stärkste Ableitung von allen (also wenn etwas frechetdifferenzierbar ist, folgen daraus die anderen Ableitungen. Umgekehrt ist dies nicht unbedingt der Fall) - die partielle Ableitung bedeutet, dass ich alle Variablen (außer der einen nach der ich ableite) als Konstanten ansehe. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen... Bin für alle Antworten und Tipps oder Hinweise/Links dankbar. smiiiile |
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| 05.10.2009, 22:41 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Die Ableitungen, die du aus der Schule kennst, treten ja nur im Eindimensionalen auf. Dort fallen viele Sachen zusammen: Es gibt nur die partielle Ableitung nach einer Variablen und diese stimmt mit der Frechet-Ableitung überein - das ist die dir bekannte0 Ableitung. Außerdem gibt es nur zwei Richtungsableitungen. Erst im Mehrdimensionalen treten Unterschiede auf. Partielle Ableitung: Das hast du dir richtig vorgestellt. Du kannst dir das auch so veranschaulichen, dass du den Definitionsbereich einschränkst: Wenn du alle bis auf eine Variable konstant hältst, dann ist der Definitionsbereich dieser eingeschränkten Abbildung eine zur -Achse parallele Gerade und du betrachtest die Funktion nun so, als wäre das jetzt eine Funktion von nach . Richtungsableitung: Hier hast du einen Punkt und eine Richtung vorgegeben. Zusammen definiert dir das wieder eine Gerade und wie vorher betrachtest du die Funktion jetzt wieder, als wäre es eine Funktion nur von Punkten auf dieser Geraden. Der einzige Unterschied ist, dass die Gerade nicht achsenparallel zu sein braucht. Beachte auch, dass "negative" Richtungen möglich sind, d.h. man kann auf der Geraden in beiden Richtungen differenzieren und es kommen durchaus andere Werte heraus (im Allgemeinen dreht sich das Vorzeichen um). Fréchet-Ableitung: Das ist die Verallgemeinerung der normalen Ableitung, die du eigentlich kennst. Sie enthält als Informationen im Speziellen alle Richungsableitungen, insbesondere also auch alle partiellen Ableitungen. Es ist aber, im Gegensatz zu diesen, eine lineare Abbildung, d.h. darstellbar durch eine Matrix (Jacobi-Matrix). schwache Ableitung: Das ist etwas sehr anderes - es ist global definiert, während die zuvor auftretenden Ableitungen lokal waren. Es gibt Funktion, wie z.B. die Betragsfunktion, die nicht überall differenzierbar sind, für die es aber in Anwendungen doch sinnvoll ist, ihnen eine Ableitung zuzuordnen - allerdings nur im Lebesgueschen Sinne. Diese Ableitung ist so definiert, dass sie den Gaußschen Satz erfüllen soll (und zwar für alle Testfunktionen, d.h. -Funktionen mit kompaktem Träger). Zur Gâteaux-Ableitung kann ich dir nichts genaueres sagen, da müsstest du mir mal eine dir bekannte Definition nennen. Nach dem, was ich im Wikipedia-Beitrag gesehen habe, ist die Gâteaux-Ableitung nicht gleich der schwachen Ableitung, sondern dies sind durch grundlegend verschiedene Dinge. Bei der Gâteaux-Ableitung scheint es auch wichtig zu sein, weitere Informationen einfließen zu lassen, d.h. sie hängt von bestimmten Eingaben ab. Beachte, dass diese Ableitungsbegriffe in verschiedenen Kontexten definiert sind und sich teilweise durchaus nicht vergleichen lassen. Dass die Fréchet-Ableitung sehr stark ist, das stimmt. Wenn diese existiert, so ist eine solche Funktion stets auch schwach differenzierbar und besitzt alle Richtungs- und alle partiellen Ableitungen. Ein solch großes Themengebiet lässt sich im Übrigen in einem Forum nicht ausreichend diskutieren. Damit sollte man sich längerfristig beschäftigen und konkrete Fragen stellen. Zur Erklärung von ganzen mathematischen Teilbereichen ist solch ein Forum nicht gedacht. |
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| 06.10.2009, 00:57 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Antwort. Jetzt habe ich zumindest mal einen groben Überblick über die Sache.
Ja, das ist mir klar. Ich werde mich in nächster Zeit auch noch ausführlicher mit den einzelnen Ableitungen beschäftigen und mich dann wieder melden, falls es noch Probleme gibt. Noch zur Gateaux-Ableitung:
Wir hatten die Gateaux-Ableitung so definiert: [attach]11381[/attach] Deshalb war ich der Meinung die schwache Ableitung entspräche der Gateaux-Ableitung. Kann man sie also vielleicht doch als dasselbe ansehen? |
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| 07.10.2009, 13:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass das dasselbe ist, darauf hättest du mit dieser Definition auch selbst kommen können. Denn demnach sind schwache Ableitung und Gâteaux-Ableitung definitionsgemäß gleich. Die mir bekannte (allgemein üblichere) Definition für schwache Ableitungen ist etwas anders, aber da ihr sie nicht behandelt, braucht sie dich zunächst auch nicht zu interessieren. Im Übrigen ist die Gâteaux-Ableitung, wie ihr sie definiert habt, wohl nur ein Spezialfall der allgemeineren Definition bei Wikipedia. Mit eurer Definition gelten dann doch folgende Implikationen: |
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