Matrizenrechnung: Unverständliche Lösungsdarstellung

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pimpl Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenrechnung: Unverständliche Lösungsdarstellung
Hallo Freunde.
Aufgabe und Musterlösung habe ich als Bilder angefügt.

PROBLEM:
Umformungen sind klar - die Darstellung der Lösung verstehe ich jedoch nicht! Wie kommt man auf die Vektoren x0, v und w?

(Ich habe als Lösung x4, x5 als beliebige Elemente aus R angegeben und dann jeweils die Komponenten des Lösungsvektors angegeben:
X =
(
x1 = - 6 + 5/3*x5
x2 = - 2/3*x5
x3 = 3 - 1/2*x4 - 7/6*x5
x4 = x4
x5 = x5
)

Ist meine Lösung auch richtig?

VIELEN DANK!


Aufgabe:

[attach]11376[/attach]

Lösung:

[attach]11377[/attach]

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mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung ist nicht richtig. Es stimmt jedoch, dass beim Umformen der Matrix eine weitere Nullzeile ensteht. Weil ursprünglich ja bereits schon eine Nullzeile vorgelegen war (nur 4 Gleichungen - jedoch mit 5 Variablen - sind angegeben!), können zwei Variable mit beliebigen Parametern belegt werden. Wie bist du eigentlich zu der Erkenntnis gelangt, dass dies bei diesem System so machbar ist? Die im Bild angegebene (richtige) Lösung stammt offensichtlich vom Autor der Aufgabe, und wie du zu deiner Lösung gekommen bist, ist nicht zu ersehen.

Weil zwei Variable beliebig mit Parametern zu besetzen sind, schreibe





s, t sind beliebig reell.

Danach erscheinen die anderen drei Variablen in Termen von r, s.
Und nun wird sofort klar, wie die angegebene Lösung zu interpretieren ist:
Der Vektor x0 ist ein beliebiges festes 5-Tupel, welches Lösung des Systemes ist. Von diesem ausgehend, wird - der zwei Freiheitsgrade zufolge - durch Linearkombination zweier "Richtungsvektoren", v, w, der komplette Lösungsraum des Systemes aufgebaut.
Die in der Lösung verwendete vektorielle Schreibweise* findet ihre Entsprechung in der zeilenweisen Notation:











So hätte bei richtiger Rechnung auch deine Lösung aussehen können. Wobei zu bemerken ist, dass Resultate in Parameterdarstellung auf vielfältige Weise zustandekommen können und daher in den Zahlenwerten nicht eindeutig sind.

*)





mY+
pimpl Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal: Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Dieses Forum ist wirklich Spitze!

.. Ja ich habe mich gestern verrechnet! Bei nochmaliger Rechnung habe ich auch die richtige Lösung erhalten.

.. Zur Darstellung:
Es gibt drei Gleichungen mit 2 Freiheitsgraden.. x0 ist eine "geratene" Lösung. Kann man dieses x0 als einen Ortsvektor auffassen, von dem aus die beiden Freiheitsgrade (Vektoren v und w) eine Ebene aufspannen?
Handelt es sich letzlich um eine Ebenengleichung, die der Lösungsmenge des Systems entspricht?

Vielen Dank für die Hilfe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es gibt nicht drei, sondern fünf (!) Gleichungen mit zwei Freiheitsgraden, davon sind zwei Nullzeilen eingeschlossen. Erst daraus folgt, dass es letztlich zu drei voneinander unabhängige Gleichungen kommt. welche keine Freiheitsgrade mehr besitzen. Aus diesem Grund können von den 5 Variablen zwei beliebig gewählt werden und das System zwingend nach den restlichen drei aufgelöst werden.

x0 ist KEINE geratene Lösung, sondern eine durch eine bestimmte Parametrisierung: x4 = s, x5 = t erreichte exakte Einzellösung. Du bekommst diese, indem du x4 = s und x5 = t in das verbleibende Restsystem (in die restlichen 3 Gleichungen) einsetzt! Bitte mach' dies einmal, du solltest genau diese Lösung erhalten.

Im übrigen liegt die Lösung tatsächlich als Parametergleichung einer 5-dimensionalen Ebene vor, das hast du richtig so interpretiert.

mY+
pimpl Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe erkannt, wie man auf das x0 kommt.

Ich möchte mich nocheinmal für die Antworten bedanken!
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