Tangente durch einen bestimmten Punkt

06.10.2009, 15:31

stealth_mx

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Tangente durch einen bestimmten Punkt

Hallo zusammen, ich bin neu hier und habe ein Problem.
Gegeben ist die Fkt $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2-4x \end{eqnarray*}$ und der Punkt $\begin{eqnarray*} P(5/1) \end{eqnarray*}$ .
Die Aufgabe ist es die Tangente der Fkt durch den Punkt zu führen.
Möchte aber erst keine Lösung, nur den Ansatz, weil ich gerne selbst drauf kommen möchte.

Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

d.h.: $\begin{eqnarray*} -x^2-4x=mx+b \end{eqnarray*}$

Danke im Vorraus.

06.10.2009, 15:34

Bakatan

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Koeffizientenvergleich zeigt, dass $\begin{eqnarray*} -x²-4x\not=mx+b~\forall x \end{eqnarray*}$ und wenn du es nur an einer Stelle hast wirst du aufgrund von einer Gleichung mit drei Unbekannten ein stark unterbestimmtes System haben.
Was ist die Tangente einer Funktion bei einer bestimmten Stelle? Denk darüber nochmal nach.

06.10.2009, 15:54

Bjoern1982

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Zitat:

Was ist die Tangente einer Funktion bei einer bestimmten Stelle?

Ich habe auch mal drüber nachgedacht, wüsste aber nicht wie mir das weiter helfen könnte. "Tangente einer Funktion" habe ich ehrlich gesagt auch noch nie gehört verwirrt

verwirrt

Der Ansatz von stealth_mx war eigentlich ganz gut, er muss vorher nur noch den Punkt P in y=mx+b einsetzen, um dann die Geradengleichung z.B. nur noch durch m auszudrücken.

Der Rest geht dann über die Diskriminante.

06.10.2009, 16:01

Bakatan

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Verstehe nicht ganz, was das bringen soll. Was gemeint ist ist meines Erachtens, dass die Gerade durch einen Punkt der Parabel mit der Steigung der Parabel an dem Punkt durch P gehen soll.
edit: Ob das, was gemeint ist auch wirklich in der Aufgabe steht ist allerdings eine andere Frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit2: Vielleicht misinterpretiere ich hier jedoch auch etwas, und es ist wirklich nur irgendeine Tangente gemeint.

06.10.2009, 16:22

stealth_mx

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Hallo, so etwa müsste das aussehen, nur rechnerisch.

06.10.2009, 16:31

Bakatan

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Ich schätze, es ist sogar egal, welche Version du verwendest. Entweder, du machst es so wie Bjoern vorgeschlagen hat:
Die Funktionsschar aller Geraden, die durch P gehen mit der Parabel schneiden und die Diskriminante verschwinden lassen ( nur ein SChnittpunkt )
Oder du leitest f ab und suchst den Punkt t, bei dem die Gerade durch t mit der Steigung f'(t) ebenfalls durch P geht.

edit: Dabei habe ich eine kleine Frage an Bjoern ( da ich mir dabei seit einer Weile irgendwie nicht sicher genug bin ): Eine Tangente an eine Funktion hat immer die gleiche Steigung wie die Funktion am Schnittpunkt oder? Klingt irgendwie offensichtlich, aber ich mache gerade bei solchen Sachen gerne Fehler.
( Unter der Annahme, die Funktion ist am Schnittpunkt differenzierbar. f(x)=|x| hat natürlich bei x=0 ne ganze Menge Tangenten... )

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06.10.2009, 17:09

Bjoern1982

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Ich habe gerade nicht viel Zeit aber den Fragesteller scheint meine Weiterführung seines Weges ja eh nicht zu interessieren, deswegen werde ich mich auch nicht weiter dazu äußern.

Ich habe bewusst den Weg ohne Differentialrechnung gewählt, da der Fragesteller von selbst schon einen anderen Weg angedeutet hat und das halt der Standardweg ist wenn man noch nichts mit Ableitungen zu tun hatte.

Zitat:

Eine Tangente an eine Funktion hat immer die gleiche Steigung wie die Funktion am Schnittpunkt oder?

Ich würde es so formulieren, vielleicht meinst du es ja so:

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an dieser Berührstelle entspricht genau der Steigung des Graphen der Funktion.
Wenn man von Steigung eines Graphen an einer bestimmten Stelle spricht meint man im Endeffekt nichts anderes als die Steigung der Tangente, die man hier anlegen würde.

06.10.2009, 17:26

stealth_mx

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Hallo, sry habe selber bloß kaum zeit. Und weiß nicht genau, wann jemand antwortet. Wenn die Aufgabenstellung nicht richtig formuliert war, dann entschuldige ich mich dafür. Es soll einfach eine Gerade auf die Funktion und den Punkt gelegt werden. Siehe Bild oben. Dann ist das quasi die Tangente der Parabell. Doch Differenzieren kann ich. Grundsetzlich ist das doch so, wenn sich etwas schneidet, dann setzt man dieses gleich. Problem sind die Unbekannten. Da weiß ich nicht genau wie ich P(5/1) genau einbinden muss. Mit der Ableitung komme ich auch nicht weiter.
mfg

06.10.2009, 17:38

Bakatan

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Die Aufgabenstellung war ok. Wir hatten bloß zwei verschiedene Lösungswege.
Bjoern will alle Geraden durch P nehmen und dann alle die keine Tangenten an f sind rauswerfen.
Ich will alle Tangenten an f nehmen, und dann alle, die nicht durch P gehen, rauswerfen.
Welchen der Wege du nimmst ist egal. Ich habe versucht, beide Wege in meinem vorherigen Post kurz zu erklären:

Bjoern: Suche alle Gleichungen der Form y=mx+b die durch P gehen. Schneide diese Schar dann mit f und verlange, dass es nur eine Lösung gibt, die Diskriminante also Null ergibt.

Bakatan: Leite f ab, stelle die allgemeine Form aller Steigungstangenten an f auf uns suche dann die, die durch P geht.

Ich denke Bjoern's Methode ist ein wenig schneller.

07.10.2009, 14:48

stealth_mx

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Hallo bin jetzt immer noch nicht weiter. Möchte gerne ohne Kurvenschar diese Aufgabe lösen. Mein Gedanke immer noch:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=m=-2x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=mx+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(5/1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(5)=f'(5)5+b \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber versuche nach b aufzulösen dann kommt bei mir ein sehr eigenartiger Wert raus, der absolut nicht stimmen kann. Entweder ist die Gleichung falsch oder meine Rechnung.

mfg

07.10.2009, 16:04

Gualtiero

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Ich möchte nur einwerfen, dass ich die Lösung über einen einfachen Ansatz gefunden habe.

Es sei $\begin{eqnarray*} (x_b; y_b) \end{eqnarray*}$ der Berührpunkt der Tangente g(x) am Graphen f(x). g(x) geht durch Punkt (5 ; 1).

Dann gilt für die Tangentensteigung: $\begin{eqnarray*} m = \frac{1-y_b}{5-x_b} \end{eqnarray*}$

Ebenso gilt: $\begin{eqnarray*} m = -2 \cdot x_b - 4 \end{eqnarray*}$

y_b kann durch die Definitionsvorschrift ersetzt werden, und man hat eine einfache quadratische Gleichung.

07.10.2009, 16:49

Bakatan

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Du hast da was verwechselt. Die x müssen nicht gleich sein.
Es ist wie du bereits gesagt hast:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2x-4 \end{eqnarray*}$ und du suchst eine Gerade $\begin{eqnarray*} g(x)=mx+b \end{eqnarray*}$
Ich erwähnte bereits, dass Bjoerns Methode wohl etwas schneller ist ( und meines Erachtens auch einfach zu verstehen, da Funktionsscharen eigentlich nicht sonderlich schwer zu handhaben sind. Vor allem, wenn es sich nur um Geraden handelt ). Außerdem hast du bei der anderen Version eine noch komischere Schar, die nicht nur einen Parameter hat.

edit: Zurück zur ersten Methode:
g(x) muss für P erfüllt sein, d.h. $\begin{eqnarray*} 1=5m+b \end{eqnarray*}$
Jetzt wird es aber etwas komisch: denn die Steigung m folgt aus f'(x) aber eben für den zweiten Punkt, durch den die Gerade geht. Folglich sind alle Tangenten der Form $\begin{eqnarray*} f'(x_a)x+f(x_a)-x_a\cdot f'(x_a) \end{eqnarray*}$ ( Beschreibt für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x_a \end{eqnarray*}$ eine Gerade, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (x_a,f(x_a)) \end{eqnarray*}$ geht und die Steigung $\begin{eqnarray*} f'(x_a) \end{eqnarray*}$ hat.
Jetzt suchst du von dieser Schar die Gerade, die ebenso die Gleichung für P erfüllt.
___________________________________

Aber nochmal: Bjoerns Methode ist schneller:
Man nehme alle Geraden die durch P gehen, Schneide sie mit der Parabel und suche den Wert, für den die Diskriminante Null ist.

PS: Gualtiero's Methode ist auch relativ schnell, bekommt aber genauso wie meine eine Scheinlösung mit hinein. Muss noch herausfinden, woher die kommt.

07.10.2009, 17:49

stealth_mx

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Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlach. Nach Bjoerns Methode soll ich jetzt 1=5m+b wie eine Kurvenschar behandeln? Weil ich soll ja alle Geraden die durch P(5/1) gehen rausfinden. Die Frage wie stelle ich das an? m müsste doch -2x-4 sein. Das würde heißen ich müsste mir nur b vornehmen. Und dann das mit Diskriminante hab ich auch nicht ganz verstanden.
mfg

07.10.2009, 18:20

Bakatan

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Am einfachsten ist wohl Gualtiero's Methode, dabei bekomme man aber irgendwo noch eine Scheinlösung mit rein, die man dann halt noch weglassen muss.

Aber zu Bjoerns Methode ( Wir sollten uns langsam mal einigen, welche denn nun durchgeführt wird ):
$\begin{eqnarray*} 1=5m+b;~b=1-5m~\Rightarrow y=mx+1-5m=m(x-5)+1 \end{eqnarray*}$
Und m ist beliebig. Die Form beschreibt eine Verschiebung aller Geraden durch den Ursprung um eben 1 nach oben ( positive y-Achse ) und 5 nach rechts ( positive x-Achse ). Aber das nur so angemerkt.
Jetzt schneidest du diese Schar mit -x²-4x und verlangst, dass die Diskriminante Null ergibt ( eine Lösung )
edit: Die am häufigsten für "Diskriminante" verwendete Bedeutung ist der Wurzelterm bei den Lösungen einer quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} ax²+bx+c=0~\Rightarrow~x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ und es fallen eben beide Lösungen zusammen, wenn die Wurzel Null ergibt.

07.10.2009, 19:15

stealth_mx

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Also wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich $\begin{eqnarray*} m(x-5)+1=-x^2-4x \end{eqnarray*}$
wobei m =-2x-4 ist.
Das sollte dann heißen: $\begin{eqnarray*} 0=-x^2-4x-1-(-2x-4)(x-5) \end{eqnarray*}$ ?
Hammer

Hammer

07.10.2009, 19:49

stealth_mx

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Endlich! habe das hinbekommen. Danke an alle, wenn ich mir das anschaue frage ich mich warum ich da so eine Blockade hatte. Habe aber komischerweise 2 Ergebnisse. Durch die PQ Formel. mfg

07.10.2009, 19:50

Bakatan

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Bjoern's Methode benutzt die Ableitung gar nicht. Folglich rechnet man nun nur noch den Parameter m der Geradenschar $\begin{eqnarray*} g_m(x)=m(x-5)+1 \end{eqnarray*}$ aus, indem man die Schar mit f(x) gleichsetzt. Die Ableitung lass raus. Rechne einfach m aus und du hast deine Gerade, die einen Schnittpunkt hat und durch P geht.

edit: Ja, ich habe beim ausprobieren auch gesehen, dass selbst Bjoern's Methode die Scheinlösung mit hinein nimmt. Du musst ausprobieren, welche es denn nun ist.
edit2: Ich hab immer noch keine Zeit gefunden, darüber nach zu denken, woher diese Scheinlösung kommt...
edit3: PS: wie lautet deine Lösung?

07.10.2009, 20:44

Gualtiero

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@stealth_mx
Zum Vergleichen: S1 (11.78 ; -185.95) und S2 = (-1.78 ; 3.95) auf 2 Stellen gerundet.
Ich habe von einer zweiten Lösung zuerst nichts gesagt, weil es mir nur auf den Gedankenansatz ankam. Wenn Du es im Prinzip verstanden hast, ist's ja gut.

@Bakatan
Meine Ergebnisse siehst Du ja oben. Welche ist jetzt die Scheinlösung?
Die Tangenten von beiden Punkten schneiden sich in (5 ; 1).

07.10.2009, 20:55

Bakatan

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Oh! Ich war irgendwie fest davon überzeugt, es könne nur eine Lösung geben. Keine Ahnung, wie ich darauf gekommen bin.

08.10.2009, 00:20

stealth_mx

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Ja die Ergebnisse stimmen überein. Ja das komische der Leitgedanke bzw sogar die Rechnung wahr glaub ich identisch. Das Problem lag glaub ich eher in der algebraischen Umformung. Und als da was falsches rauskam, kam ich ganz durcheinander. Werde mich aber noch mal erkundigen warum es 2 Lösungen gibt.

08.10.2009, 13:59

Bakatan

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Wie erwähnt, war mein Fehler. Es gibt natürlich in der Tat zwei Ergebnisse:
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PS: geprüft, ob man die Zahlen noch etwas vereinfachen kann habe ich nicht. Denke aber mal nicht.

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