Gleichung für verdrehten Ellipsoiden

06.10.2009, 17:08	lisa2112	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung für verdrehten Ellipsoiden Hallo Zusammen, ich habe folgende Gleichung welche angeblich einen im Raum verschobenen und verdrehten Ellipsoiden darstellen soll: ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fxz + gx + hy + i*z =1 Jetzt frage ich mich, für was diese Parameter stehen. Ich kenne die Ellipsoidengleichung ax^2+by^2+cz^2=1 und ich weiss, das es die Parameterform gibt, also: x'=x cosbeta sinalpha y'=y sinbeta sindalpha z'=z cos alpha Das hab ich auch schon eingesetzt aber für was steht der Rest der Gleichung? Stehen die anderen Parameter für die Rotation? Dankeschön schon mal für Hilfe!
06.10.2009, 19:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Quadrik
06.10.2009, 19:41	lisa2112	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon. Das hab ich mir jetzt auch schon angelesen! Aber ich bin leider keine Mathematikerin (nur Maschinenbaustudentin) und weiss daher immer noch nicht, was mir das jetzt sagt! Diese Gleichung stammt aus einem Matlab-Programm, welches einen Ellipsoid plotten soll. Aber wie kann ich denn die Werte dieser Parameter a-i bestimmen? Oder muss ich das Ganze anders angehen.. HILFE!!
07.10.2009, 12:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe alles als Matrixgleichung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & d/2 & f/2 \\ d/2 & b & e/2 \\ f/2 & e/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =1 \end{eqnarray}$ Löse nun das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & d/2 & f/2 \\ d/2 & b & e/2 \\ f/2 & e/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_M \\ y_M \\ z_M \end{pmatrix}=-\frac{1}{2} \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Lösungsvektor ist der Mittelpunkt des Ellipsoides, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_M \\ y_M \\ z_M \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um das Ellipsoid in den Mittelpunkt zu verschieben, führe in der ersten Gleichung folgende Substitution aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_M \\ y_M \\ z_M \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufgrund der gewählten Substitution bekommt man eine neue Gleichung bezüglich des transformiertn Vektors (x'\|y'\|z'), wobei der lineare Summand herausfällt, also der Summand $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Übrig bleibt der erste Summand mit der Matrix und der letzte Summand (=Zahl), die jetzt aber anders sein kann also vor der Transformation. Um die von dir genannte "einfache Form" der Ellipsoidgleichung zu bekommen, muss man in einem 2.Schritt die Nichtdiagonalelemente der Matrix "wegtransformieren", so dass die Matrix nur noch in der Hauptdiagonalen die drei werte a', b', c' hat. Um dies zu erreichen, muss man eine Drehung des Koordinatensystems durchführen. Diese Drehung lautet in Matrixform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ d_{21} & d_{22} & d_{23} \\ d_{31} & d_{32} & d_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \\ z'' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man diese Drehung in die vorher transformiert Gleichung anstelle von (x'\|y'\|z') einsetzt, wird die Matrix diagonalisiert, wenn die Spalten der Drehmatrix d(i,j) gerade die auf 1 normierten Eigenvektoren der Matrix A aus der ersten Gleichumg sind. Berechne also diese Eigenvektoren und führe die Drehung aus. Viel Erfolg.

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